Задание 17

Решение:

По условию задачи натуральное число \(n\) делится на натуральное число \(p\ (p>1)\), то есть существует такое натуральное число \(k\), что \(n=p\cdot{k}.\) Предположим, что натуральное число \(n+1\) тоже делится на \(p\), то есть существует такое натуральное число \(r\), что \(n+1=p\cdot{r}.\) Тогда разность чисел \(n+1\) и \(n\) равна \(1\) и, кроме того, справедливо равенство \(1=p\cdot{r}-p\cdot{k}=p\cdot(r-k).\)
Из этого равенства следует, что число \(1\) делится на число \(p\), которое больше \(1\), что невозможно. Следовательно, предположение, что \(n+1\) делится на \(p\), неверно, то есть \(n+1\) не делится на \(p\), что и требовалось доказать.