- Доказываем. \(\largeа)\) Докажите, что \((n+1)!-n\cdot{n}!=n!.\)
- \(\largeб)\) Вычислите: \(11!-(1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot3!+\ ...\ +10\cdot10!).\)
Задание 290
Источник заимствования: Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных организаций / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин – Просвещение, 2013. – 87 c. ISBN 978-5-09-027739-6
Реклама
А+АА-
Решение:
- \({\largeа)}\ (n+1)!-n\cdot{n}!=(n+1)\cdot{n}!-n\cdot{n}!=(n+1-n)\cdot{n}!=1\cdot{n}!=n!\)
Что и требовалось доказать.
\(\largeб)\) Для любого натурального \(n\) верно равенство:
- \(n\cdot{n}!=(n+1)!-n!\)
Применим это равенство для преобразования выражения в скобках:
- \(11!-(1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot3!+\ ...\ +10\cdot10!)=11!-(2!-1!+3!-2!+4!-3!+\ ...\ +11!-10!)=11!-(-1!+11!)=11!+1!-11!=1!=1\)