Решение:
- \({\largeа)}\ a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=0\)
Раскроем скобки в левой части равенства:
- \(a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=\) \(ab\) \(-\) \(ac\) \(+\) \(bc\) \(-\) \(ab\) \(+\) \(ac\) \(-\) \(bc\) \(=0\)
Тождество верно, что и требовалось доказать.
- \({\largeб)}\ ab(c-d)-cd(a-b)-ac(b-d)-bd(c-a)=0\)
Раскроем скобки в левой части равенства:
- \(ab(c-d)-cd(a-b)-ac(b-d)-bd(c-a)=\) \(abc\) \(-\) \(abd\) \(-\) \(acd\) \(+\) \(bcd\) \(-\) \(abc\) \(+\) \(acd\) \(-\) \(bcd\) \(+\) \(abd\) \(=0\)
Тождество верно, что и требовалось доказать.
- \({\largeв)}\ (m-n)(2m+3n)(m-7)+7(2m^2+2mn-3n^2)=m(2m^2+mn-3n^2+7n)\)
Раскроем скобки в левой части равенства:
- \((m-n)(2m+3n)(m-7)+7(2m^2+2mn-3n^2)=(2m^2-2mn+3mn-3n^2)(m-7)+14m^2+14mn-21n^2=(2m^2+mn-3n^2)(m-7)+14m^2+14mn-21n^2=2m^3+m^2n-3mn^2\ -\) \(14m^2\) \(-\) \(7mn\) \(+\) \(21n^2\) \(+\) \(14m^2\) \(+\) \(14mn\) \(-\) \(21n^2\) \(=2m^3+m^2n-3mn^2+7mn\)
Раскроем скобки в правой части равенства:
- \(m(2m^2+mn-3n^2+7n)=2m^3+m^2n-3mn^2+7mn\)
Левая часть равенства равна правой, следовательно, тождество верно, что и требовалось доказать.
- \({\largeг)}\ (a^3b-b^2)(a^2-2b)(a-3b)+3a^2b^2(a^3-2ab-b)+2b^2(a^4-ab+3b^2)=a^3b(a^3-b)\)
Раскроем скобки в левой части равенства:
- \((a^3b-b^2)(a^2-2b)(a-3b)+3a^2b^2(a^3-2ab-b)+2b^2(a^4-ab+3b^2)=(a^5b-a^2b^2-2a^3b^2+2b^3)(a-3b)+3a^5b^2-6a^3b^3-3a^2b^3+2a^4b^2-2ab^3+6b^4=a^6b-a^3b^2-2a^4b^2+2ab^3-3a^5b^2+3a^2b^3+6a^3b^3-6b^4+3a^5b^2-6a^3b^3-3a^2b^3+2a^4b^2-2ab^3+6b^4=a^6b-a^3b^2\)
Раскроем скобки в правой части равенства:
- \(a^3b(a^3-b)=a^6b-a^3b^2\)
Левая часть равенства равна правой, следовательно, тождество верно, что и требовалось доказать.
- \({\largeд)}\ (a^2-4a+4)(a^2+4a+4)-a^2(a^2-8)=16\)
Раскроем скобки в левой части равенства:
- \((a^2-4a+4)(a^2+4a+4)-a^2(a^2-8)=\) \(a^4\) \(-\) \(4a^3\) \(+\) \(4a^2\) \(+\) \(4a^3\) \(-\) \(16a^2\) \(+\) \(16a\) \(+\) \(4a^2\) \(-\) \(16a\) \(+\ 16\ -\) \(a^4\) \(+\) \(8a^2\) \(=16\)
Тождество верно, что и требовалось доказать.
- \({\largeе)}\ (4a^2+4a+1)(4a^2-4a+1)-8a^2(2a^2-1)=1\)
Раскроем скобки в левой части равенства:
- \((4a^2+4a+1)(4a^2-4a+1)-8a^2(2a^2-1)=\) \(16a^4\) \(+\) \(16a^3\) \(+\) \(4a^2\) \(-\) \(16a^3\) \(-\) \(16a^2\) \(-\) \(4a\) \(+\) \(4a^2\) \(+\) \(4a\) \(+\ 1\ -\) \(16a^4\) \(+\) \(8a^2\) \(=1\)
Тождество верно, что и требовалось доказать.
- \({\largeж)}\ (a-1)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)-a^8={-}1\)
Раскроем скобки в левой части равенства:
- \((a-1)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)-a^8=(a^2-a+a-1)(a^2+1)(a^4+1)-a^8=(a^2-1)(a^2+1)(a^4+1)-a^8=(a^4-a^2+a^2-1)(a^4+1)-a^8=(a^4-1)(a^4+1)-a^8=\) \(a^8\) \(-\) \(a^4\) \(+\) \(a^4\) \(-\ 1\ -\) \(a^8\) \(={-}1\)
Тождество верно, что и требовалось доказать.
- \({\largeз)}\ (a-2)(a+2)(a^2+4)(a^4+16)-a^8={-}256\)
Раскроем скобки в левой части равенства:
- \((a-2)(a+2)(a^2+4)(a^4+16)-a^8=(a^2-2a+2a-4)(a^2+4)(a^4+16)-a^8=(a^2-4)(a^2+4)(a^4+16)-a^8=(a^4-4a^2+4a^2-16)(a^4+16)-a^8=(a^4-16)(a^4+16)-a^8=\) \(a^8\) \(-\) \(16a^4\) \(+\) \(16a^4\) \(-\ 256\ -\) \(a^8\) \(={-}256\)
Тождество верно, что и требовалось доказать.