Задание 347
Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
- \({\largeа)}\ (a+b)^2+(a+b)(a-b);\)
- \({\largeб)}\ (a+3)^2+(x+1)^2;\)
- \({\largeв)}\ 2(m+1)^2+3(m+2)^2;\)
- \({\largeг)}\ 5(p+q)^2+3(p+2q)^2;\)
- \({\largeд)}\ (2a+3b)^2-(3a+2b)^2;\)
- \({\largeе)}\ 2(3x+y)^2-3(2x+3y)^2;\)
- \({\largeж)}\ (m+n)^2+2(m+n)(2m-n)+(2m-n)^2;\)
- \({\largeз)}\ 2(p+3q)(p+2q)-(p+2q)^2-(3q+p)^2.\)
Источник заимствования: Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных организаций / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин – Просвещение, 2013. – 101 c. ISBN 978-5-09-027739-6
А+АА-
Решение:
- \({\largeа)}\ (a+b)^2+(a+b)(a-b)=\) \(a^2\) \(+\) \(2ab\) \(+\) \(b^2\) \(+\) \(a^2\) \(+\) \(ab\) \(-\) \(ab\) \(-\) \(b^2\) \(=2a^2+2ab\)
Преобразуем выражение в многочлен стандартного вида, вынеся общий множитель за скобки:
- \(\phantom{\largeа)}\ (a+b)^2+(a+b)(a-b)=(a+b)(a+b+a-b)=(a+b)2a=2a^2+2ab\)
- \({\largeб)}\ (a+3)^2+(x+1)^2=a^2+6a\ +\) \(9\) \(+\ x^2+2x\ +\) \(1\) \(=a^2+6a+x^2+2x+10\)
- \({\largeв)}\ 2(m+1)^2+3(m+2)^2=2(m^2+2m+1)+3(m^2+4m+4)=\) \(2m^2\) \(+\) \(4m\) \(+\) \(2\) \(+\) \(3m^2\) \(+\) \(12m\) \(+\) \(12\) \(=5m^2+16m+14\)
- \({\largeг)}\ 5(p+q)^2+3(p+2q)^2=5(p^2+2pq+q^2)+3(p^2+4pq+4q^2)=\) \(5p^2\) \(+\) \(10pq\) \(+\) \(5q^2\) \(+\) \(3p^2\) \(+\) \(12pq\) \(+\) \(12q^2\) \(=8p^2+22pq+17q^2\)
- \({\largeд)}\ (2a+3b)^2-(3a+2b)^2=4a^2+12ab+9b^2-(9a^2+12ab+4b^2)=\) \(4a^2\) \(+\) \(12ab\) \(+\) \(9b^2\) \(-\) \(9a^2\) \(-\) \(12ab\) \(-\) \(4b^2\) \(={-}5a^2+5b^2\)
- \({\largeе)}\ 2(3x+y)^2-3(2x+3y)^2=2(9x^2+6xy+y^2)-3(4x^2+12xy+9y^2)=\) \(18x^2\) \(+\) \(12xy\) \(+\) \(2y^2\) \(-\) \(12x^2\) \(-\) \(36xy\) \(-\) \(27y^2\) \(=6x^2-24xy-25y^2\)
- \({\largeж)}\ (m+n)^2+2(m+n)(2m-n)+(2m-n)^2=m^2+2mn+n^2+2(2m^2+2mn-mn-n^2)+4m^2-4mn+n^2=m^2+2mn+n^2+2(2m^2+mn-n^2)+4m^2-4mn+n^2=\) \(m^2\) \(+\) \(2mn\) \(+\) \(n^2\) \(+\) \(4m^2\) \(+\) \(2mn\) \(-\) \(2n^2\) \(+\) \(4m^2\) \(-\) \(4mn\) \(+\) \(n^2\) \(=9m^2\)
Преобразуем выражение в многочлен стандартного вида, используя формулу квадрата суммы:
- \(\phantom{\largeж)}\ (m+n)^2+2(m+n)(2m-n)+(2m-n)^2=((m+n)+(2m-n))^2=(m+n+2m-n)^2=(3m)^2=9m^2\)
- \({\largeз)}\ 2(p+3q)(p+2q)-(p+2q)^2-(3q+p)^2=2(p^2+3pq+2pq+6q^2)-(p^2+4pq+4q^2)-(9q^2+6pq+p^2)=2(p^2+5pq+6q^2)-p^2-4pq-4q^2-9q^2-6pq-p^2=\) \(2p^2\) \(+\) \(10pq\) \(+\) \(12q^2\) \(-\) \(p^2\) \(-\) \(4pq\) \(-\) \(4q^2\) \(-\) \(9q^2\) \(-\) \(6pq\) \(-\) \(p^2\) \(={-}q^2\)
Преобразуем выражение в многочлен стандартного вида другим способом:
- \(\phantom{\largeз)}\ 2(p+3q)(p+2q)-(p+2q)^2-(3q+p)^2={-}((p+3q)^2-2(p+3q)(p+2q)+(p+2q)^2)={-}((p+3q)-(p+2q))^2={-}(p+3q-p-2q)^2={-}q^2\)
