§ 6. Задание 373. «Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных организаций» АЛГЕБРА 7 ГДЗ Задание 373

    Задание 373

    Докажите, что для любых чисел \(x\) и \(y\) верно неравенство:

      • \({\largeа)}\ x^2+y^2-8x+4y+20\geqslant0;\)
      • \({\largeб)}\ x^2+y^2+12x-6y+45\geqslant0;\)
      • \({\largeв)}\ x^2+y^2-6x+10y+34\geqslant0;\)
      • \({\largeг)}\ x^2+y^2+10x-10y+50\geqslant0.\)

    Источник заимствования: Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных организаций / – Просвещение, 2013. – 107 c. ISBN 978-5-09-027739-6
    Реклама
    А+АА-

    Решение:

      • \({\largeа)}\ x^2+y^2-8x+4y+20\geqslant0\)

    Так как

      • \(x^2+y^2-8x+4y+20=x^2-8x+16+y^2+4y+4=(x-4)^2+(y+2)^2\)

    и для любого числа \(x\) верно неравенство \((x-4)^2\geqslant0\), а для любого числа \(y\) верно неравенство \((y+2)^2\geqslant0\), то для любых чисел \(x\) и \(y\) верны неравенства \((x-4)^2+(y+2)^2\geqslant0\) и \(x^2+y^2-8x+4y+20\geqslant0\), что и требовалось доказать.

      • \({\largeб)}\ x^2+y^2+12x-6y+45\geqslant0\)

    Так как

      • \(x^2+y^2+12x-6y+45=x^2+12x+36+y^2-6y+9=(x+6)^2+(y-3)^2\)

    и для любого числа \(x\) верно неравенство \((x+6)^2\geqslant0\), а для любого числа \(y\) верно неравенство \((y-3)^2\geqslant0\), то для любых чисел \(x\) и \(y\) верны неравенства \((x+6)^2+(y-3)^2\geqslant0\) и \(x^2+y^2+12x-6y+45\geqslant0\), что и требовалось доказать.

      • \({\largeв)}\ x^2+y^2-6x+10y+34\geqslant0\)

    Так как

      • \(x^2+y^2-6x+10y+34=x^2-6x+9+y^2+10y+25=(x-3)^2+(y+5)^2\)

    и для любого числа \(x\) верно неравенство \((x-3)^2\geqslant0\), а для любого числа \(y\) верно неравенство \((y+5)^2\geqslant0\), то для любых чисел \(x\) и \(y\) верны неравенства \((x-3)^2+(y+5)^2\geqslant0\) и \(x^2+y^2-6x+10y+34\geqslant0\), что и требовалось доказать.

      • \({\largeг)}\ x^2+y^2+10x-10y+50\geqslant0\)

    Так как

      • \(x^2+y^2+10x-10y+50=x^2+10x+25+y^2-10y+25=(x+5)^2+(y-5)^2\)

    и для любого числа \(x\) верно неравенство \((x+5)^2\geqslant0\), а для любого числа \(y\) верно неравенство \((y-5)^2\geqslant0\), то для любых чисел \(x\) и \(y\) верны неравенства \((x+5)^2+(y-5)^2\geqslant0\) и \(x^2+y^2+10x-10y+50\geqslant0\), что и требовалось доказать.