Задание 386
Доказываем. Докажите тождество:
- \({\largeа)}\ (a-b)^2+(a-b)(b+a)=2a(a-b);\)
- \({\largeб)}\ 2(x+5)^2-2(5-x)(5+x)=4x(x+5);\)
- \({\largeв)}\ 2(c-3)^2-4(1-c)(c+1)=6(c-1)^2+8;\)
- \({\largeг)}\ 3(m-4)(4+m)-3(2-m)^2=12(m-5).\)
Источник заимствования: Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных организаций / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин – Просвещение, 2013. – 109 c. ISBN 978-5-09-027739-6
А+АА-
Решение:
\(\largeа)\) Преобразуем левую часть равенства:
- \((a-b)^2+(a-b)(b+a)=(a-b)^2+(a-b)(a+b)=\) \(a^2\) \(-\ 2ab\ +\) \(b^2\) \(+\) \(a^2\) \(-\) \(b^2\) \(=2a^2-2ab=2a(a-b)\)
Докажем тождество вынеся общий множитель за скобку:
- \((a-b)^2+(a-b)(b+a)=(a-b)(a-b+b+a)=2a(a-b)\)
Левая часть равенства равна правой, что и требовалось доказать.
\(\largeб)\) Преобразуем левую часть равенства:
- \(2(x+5)^2-2(5-x)(5+x)=2(x^2+10x+25)-2(25-x^2)=\) \(2x^2\) \(+\ 20x\ +\) \(50\) \(-\) \(50\) \(+\) \(2x^2\) \(=4x^2+20x=4x(x+5)\)
Докажем тождество вынеся общий множитель за скобку:
- \(2(x+5)^2-2(5-x)(5+x)=2(x+5)^2-2(5-x)(x+5)=2(x+5)((x+5)-(5-x))=2(x+5)(x+5-5+x)=2(x+5)2x=4x(x+5)\)
Левая часть равенства равна правой, что и требовалось доказать.
\(\largeв)\) Преобразуем левую часть равенства:
- \(2(c-3)^2-4(1-c)(c+1)=2(c-3)^2-4(1-c)(1+c)=2(c^2-6c+9)-4(1-c^2)=\) \(2c^2\) \(-\ 12c\ +\) \(18\) \(-\) \(4\) \(+\) \(4c^2\) \(=6c^2-12c+14=6c^2-12c+6+8=6(c^2-2c+1)+8=6(c-1)^2+8\)
Левая часть равенства равна правой, что и требовалось доказать.
\(\largeг)\) Преобразуем левую часть равенства:
- \(3(m-4)(4+m)-3(2-m)^2=3(m-4)(m+4)-3(2-m)^2=3(m^2-16)-3(4-4m+m^2)=3(\)\(m^2\) \(-\) \(16\) \(-\) \(4\) \(+\ 4m\ -\) \(m^2\)\()=3(4m-20)=3\cdot4(m-5)=12(m-5)\)
Левая часть равенства равна правой, что и требовалось доказать.