Доказываем. Докажите тождество:
- \({\largeа)}\ (m^2+1)(n^2+1)=(mn-1)^2+(n+m)^2;\)
- \({\largeб)}\ (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(bc+ad)^2.\)
Задание 442
Источник заимствования: Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных организаций / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин – Просвещение, 2013. – 117 c. ISBN 978-5-09-027739-6
Реклама
А+АА-
Решение:
\({\largeа)}\) Преобразуем левую часть равенства, раскроем скобки, затем, отнимем и прибавим \(2mn\) и изменим порядок слагаемых:
- \((m^2+1)(n^2+1)=m^2n^2+m^2+n^2+1=m^2n^2-2mn+1+n^2+2mn+m^2=(mn-1)^2+(n+m)^2\)
Тождество верно, что и требовалось доказать.
\({\largeб)}\) Преобразуем левую часть равенства, раскроем скобки, затем, отнимем и прибавим \(2abcd\) и изменим порядок слагаемых:
- \((a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2=a^2c^2-2abcd+b^2d^2+b^2c^2+2abcd+a^2d^2=(ac-bd)^2+(bc+ad)^2\)
Тождество верно, что и требовалось доказать.