Задание 444

Решение:

\(\largeа)\) Пусть \(n\) и \(n+1\) – два последовательных натуральных числа, тогда разность квадратов этих двух чисел будет равна:

• \((n+1)^2-n^2=(n+1+n)(n+1-n)=(2n+1)\cdot1=2n+1\)

Значением двучлена \(2n+1\), где \(n\) – некоторое натуральное число, является нечетное число, следовательно, разность квадратов двух последовательных натуральных чисел является нечетным числом, требуемое утверждение доказано.

\(\largeб)\) Пусть \(2n\) и \(2n+2\) – два последовательных четных числа, тогда разность квадратов этих двух чисел будет равна:

• \((2n+2)^2-(2n)^2=(2n+2+2n)(2n+2-2n)=(4n+2)\cdot2=2\cdot2\cdot(2n+1)=4\cdot(2n+1)\)

Видим, что один из множителей кратен \(4\), следовательно, разность квадратов двух последовательных четных чисел делится на \(4\), требуемое утверждение доказано.

\(\largeв)\) Пусть \(2n+1\) и \(2n+3\) – два последовательных нечетных числа, тогда разность квадратов этих двух чисел будет равна:

• \((2n+3)^2-(2n+1)^2=((2n+3)+(2n+1))((2n+3)-(2n+1))=(2n+3+2n+1)(2n+3-2n-1)=(4n+4)\cdot2=2\cdot4\cdot(n+1)=8\cdot(n+1)\)

Видим, что один из множителей кратен \(8\), следовательно, разность квадратов двух последовательных нечетных чисел делится на \(8\), требуемое утверждение доказано.