Задание 446
Вычислите:
- \({\largeа)}\ (2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1);\)
- \({\largeб)}\ \frac{ (2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1}{2^{64}};\)
- \({\largeв)}\ \frac{ (3+2)(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})(3^{32}+2^{32})+2^{64}}{3^{64}}.\)
Источник заимствования: Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных организаций / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин – Просвещение, 2013. – 117 c. ISBN 978-5-09-027739-6
А+АА-
Решение:
\(\largeа)\) Умножим данное произведение на число \(1=2-1\):
- \((2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)=(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)=(2^{16}-1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)=(2^{32}-1)(2^{32}+1)=2^{64}-1\)
\(\largeб)\) Умножим данное произведение на число \(1=2-1\):
- \(\frac{ (2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1}{2^{64}}=\frac{ (2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1}{2^{64}}=\frac{ (2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1}{2^{64}}=\frac{ (2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1}{2^{64}}=\frac{ (2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1}{2^{64}}=\frac{ (2^{16}-1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1}{2^{64}}=\frac{ (2^{32}-1)(2^{32}+1)+1}{2^{64}}=\frac{2^{64}-1+1}{2^{64}}=\frac{2^{64}}{2^{64}}=1\)
\(\largeв)\) Умножим данное произведение на число \(1=3-2\):
- \(\frac{ (3+2)(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})(3^{32}+2^{32})+2^{64}}{3^{64}}=\frac{ (3-2)(3+2)(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})(3^{32}+2^{32})+2^{64}}{3^{64}}=\frac{ (3^2-2^2)(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})(3^{32}+2^{32})+2^{64}}{3^{64}}=\frac{ (3^4-2^4)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})(3^{32}+2^{32})+2^{64}}{3^{64}}=\frac{ (3^8-2^8)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})(3^{32}+2^{32})+2^{64}}{3^{64}}=\frac{ (3^{16}-2^{16})(3^{16}+2^{16})(3^{32}+2^{32})+2^{64}}{3^{64}}=\frac{ (3^{32}-2^{32})(3^{32}+2^{32})+2^{64}}{3^{64}}=\frac{3^{64}-2^{64}+2^{64}}{3^{64}}=\frac{3^{64}}{3^{64}}=1\)
