Задание 449

Доказываем. Задача Диофанта. Докажите, что произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма двух квадратов, само представляется двумя способами в виде суммы двух квадратов:

\((a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(bc-ad)^2;\)

\((a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(bc+ad)^2.\)

Источник заимствования: Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных организаций / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин – Просвещение, 2013. – 118 c. ISBN 978-5-09-027739-6

Реклама

А+АА-

Решение:

Раскроем скобки в левой части равенства, после этого, прибавим и отнимем \(2abcd\) и изменим порядок слагаемых:

\((a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+b^2c^2-2abcd+a^2d^2=(ac+bd)^2+(bc-ad)^2\)

Тождество верно, что и требовалось доказать.
Раскроем скобки в левой части равенства, после этого, отнимем и прибавим \(2abcd\) и изменим порядок слагаемых:

\((a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2=a^2c^2-2abcd+b^2d^2+b^2c^2+2abcd+a^2d^2=(ac-bd)^2+(bc+ad)^2\)

Тождество верно, что и требовалось доказать.

Задание 448Задание 450