\(\largeа)\) Докажите, что одно из трех соседних нечетных чисел делится на \(3.\)
\(\largeб)\) Известно, что \(p\), \(p+2\), \(p+4\) – простые числа. Найдите \(p.\) Докажите, что других \(p\) не существует.
Задание 45
Источник заимствования: Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных организаций / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин – Просвещение, 2013. – 11 c. ISBN 978-5-09-027739-6
Реклама
А+АА-
Решение:
\(\largeа)\) Пусть \(n\), \(n+2\) и \(n+4\) – соседние нечетные числа. Если \(n\) делится на \(3\), то его можно записать в виде \(3k\), где \(k\) – некоторое натуральное число, требуемое утверждение доказано.
Если \(n\) не делится на \(3\), то его можно записать в виде \(3k+1\) или \(3k+2\), где \(k\) – некоторое натуральное число. В первом случае имеем: \(n+2=3k+3\) – делится на \(3\), во втором случае имеем: \(n+4=3k+6\), тоже делится на \(3.\)
Рассмотрев все возможные случаи делаем вывод, что среди любых трех соседних нечетных чисел есть одно число, которое делится на \(3\), что и требовалось доказать.
\(\largeб)\) Пусть \(p\), \(p+2\), \(p+4\) – простые числа. Среди этих чисел нет числа \(2\), так как в противном случае не все они были бы простыми, следовательно, эти числа нечетные. Выше было доказано, что среди этих чисел есть число, кратное \(3\) – это само число \(3.\) Значит, \(p=3\) и других \(p\) не существует, что и требовалось доказать.