Доказываем. Задача Софии Жермен. Докажите, что при любых натуральных \(a\ne1\) каждое число вида \(a^4+4\) является составным числом.
Задание 476
Источник заимствования: Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных организаций / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин – Просвещение, 2013. – 124 c. ISBN 978-5-09-027739-6
Реклама
А+АА-
Решение:
- \(a^4+4=a^4+4a^2+4-4a^2=(a^2+2)^2-(2a)^2=(a^2+2+2a)(a^2+2-2a)=(a^2+2a+2)(a^2-2a+2)\)
При \(a=1\) имеем \(a^4+4=1^4+4=5\), значит, число \(a^4+4\) простое, то есть не составное, а для натурального \(a>1\) число \(a^4+4\) делится на различные числа \(a^2+2a+2=(a+1)^2+1\) и \(a^2-2a+2=(a-1)^2+1\), большие \(1\), следовательно, число \(a^4+4\) составное, что и требовалось доказать.