Задание 534
Упростите рациональное выражение:
- \({\largeа)}\ \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)abc;\)
- \({\largeб)}\ 5x^2\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}+3\right);\)
- \({\largeв)}\ \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\cdot\frac{ab}{c};\)
- \({\largeг)}\ 3x^3\left(\frac{2}{x^2}+\frac{1}{y}+\frac{4}{x}\right).\)
Источник заимствования: Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных организаций / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин – Просвещение, 2013. – 138 c. ISBN 978-5-09-027739-6
А+АА-
Решение:
\(\largeа)\) Упростим рациональное выражение первым способом, сначала сложим дроби в скобках, затем выполним умножение:
- \(\left(\frac{1^{\backslash{bc}}}{a\phantom{^{\backslash{bc}}}}+\frac{1^{\backslash{ac}}}{b\phantom{^{\backslash{ac}}}}+\frac{1^{\backslash{ab}}}{c\phantom{^{\backslash{ab}}}}\right)abc=\left(\frac{1\cdot{bc}+1\cdot{ac}+1\cdot{ab}}{abc}\right)abc=\frac{bc+ac+ab}{abc}\cdot\frac{abc}{1}=bc+ac+ab\)
Упростим рациональное выражение вторым способом, применим распределительный закон умножения:
- \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)abc=\frac{1\cdot{abc}}{a}+\frac{1\cdot{abc}}{b}+\frac{1\cdot{abc}}{c}=bc+ac+ab\)
\(\largeб)\) Упростим рациональное выражение первым способом, сначала выполним действия в скобках, затем выполним умножение:
- \(5x^2\left(\frac{1^{\backslash1}}{x^2\phantom{^{\backslash1}}}-\frac{1^{\backslash{x}}}{x\phantom{^{\backslash{x}}}}+3^{\backslash{x^2}}\right)=5x^2\left(\frac{1\cdot1-1\cdot{x}+3\cdot{x^2}}{x^2}\right)=\frac{5x^2}{1}\cdot\frac{1-x+3x^2}{x^2}=5\cdot(1-x+3x^2)=5-5x+15x^2\)
Упростим рациональное выражение вторым способом, применим распределительный закон умножения:
- \(5x^2\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}+3\right)=\frac{1\cdot5x^2}{x^2}-\frac{1\cdot5x^2}{x}+3\cdot5x^2=5-5x+15x^2\)
\(\largeв)\) Упростим рациональное выражение первым способом, сначала сложим дроби в скобках, затем выполним умножение:
- \(\left(\frac{a^{\backslash{ac}}}{b\phantom{^{\backslash{ac}}}}+\frac{b^{\backslash{ab}}}{c\phantom{^{\backslash{ab}}}}+\frac{c^{\backslash{bc}}}{a\phantom{^{\backslash{bc}}}}\right)\cdot\frac{ab}{c}=\left(\frac{a\cdot{ac}+b\cdot{ab}+c\cdot{bc}}{abc}\right)\cdot\frac{ab}{c}=\frac{a^2c+ab^2+bc^2}{abc}\cdot\frac{ab}{c}=\frac{a^2c+ab^2+bc^2}{c}\cdot\frac{1}{c}=\frac{a^2c+ab^2+bc^2}{c^2}\)
Упростим рациональное выражение вторым способом, применим распределительный закон умножения:
- \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\cdot\frac{ab}{c}=\frac{a}{b}\cdot\frac{ab}{c}+\frac{b}{c}\cdot\frac{ab}{c}+\frac{c}{a}\cdot\frac{ab}{c}=\frac{a^2}{c}+\frac{ab^2}{c^2}+\frac{bc}{c}=\frac{a^2c+ab^2+bc^2}{c^2}\)
\(\largeг)\) Упростим рациональное выражение первым способом, сначала сложим дроби в скобках, затем выполним умножение:
- \(3x^3\left(\frac{2^{\backslash{y}}}{x^2\phantom{^{\backslash{y}}}}+\frac{1^{\backslash{x^2}}}{y\phantom{^{\backslash{x^2}}}}+\frac{4^{\backslash{xy}}}{x\phantom{^{\backslash{xy}}}}\right)=3x^3\left(\frac{2\cdot{y}+1\cdot{x^2}+4\cdot{xy}}{x^2y}\right)=\frac{3x^3}{1}\cdot\frac{2y+x^2+4xy}{x^2y}=\frac{ 3x\cdot(2y+x^2+4xy)}{y}=\frac{6xy+3x^3+12x^2y}{y}\)
Упростим рациональное выражение вторым способом, применим распределительный закон умножения:
- \(3x^3\left(\frac{2}{x^2}+\frac{1}{y}+\frac{4}{x}\right)=\frac{2\cdot3x^3}{x^2}+\frac{1\cdot3x^3}{y}+\frac{4\cdot3x^3}{x}=\frac{6x}{1}+\frac{3x^3}{y}+\frac{12x^2}{1}=\frac{6xy+3x^3+12x^2y}{y}\)
