Исследуем. Найдите, если это возможно, числовые значения \(x\), для которых значение алгебраической дроби – натуральное число:
\(\largeа)\) Так как число \(12\) имеет делителями целые числа: \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12,\) то искомые значения \(x\) найдем\(,\) решив уравнения:
Искомые значения \(x\) равны: \({-}4,\ {-}3,\ {-}2,\ {-}1,\ 1,\ 7.\)
\({\largeб)}\ \frac{x+2}{x}=\frac{x}{x}+\frac{2}{x}=1+\frac{2}{x}\)
Так как число \(2\) имеет делителями целые числа \(1,\ 2,\) то искомые значения \(x\) равны: \(1,\ 2.\)
\({\largeв)}\ \frac{x+2}{x-5}=\frac{x-5+7}{x-5}=\frac{x-5}{x-5}+\frac{7}{x-5}=1+\frac{7}{x-5}\)
Так как число \(7\) имеет делителями целые числа \(1,\ 7,\) то искомые значения \(x\) найдем\(,\) решив уравнения:
Искомые значения \(x\) равны: \(6,\ 12.\)
\({\largeг)}\ \frac{x^2-x}{x+1}=\frac{ x(x-1)}{x+1}=\frac{ x(x+1)-2x}{x+1}=\frac{ x(x+1)}{x+1}-\frac{2x}{x+1}=x-\frac{2x}{x+1}\)
Числовые значения \(x,\) для которых значение алгебраической дроби \(\frac{x^2-x}{x+1}\) – натуральное число, найти не возможно.