Доказываем. Докажите, что для любого числа \(x\) верно неравенство:
Определите, при каком значении \(x\) левая часть неравенства равна правой.
\(\largeа)\) Так как для любого числа \(x\) верны равенство \(x^2+6x+11=(x+3)^2+2\) и неравенство \((x+3)^2+2\geqslant2,\) то для любого числа \(x\) верно неравенство \(\frac{2}{x^2+6x+11}\leqslant1,\) что и требовалось доказать.
Так как \((x+3)^2+2=2\) лишь при \(x={-}3,\) то левая часть неравенства равна правой лишь при \(x={-}3.\)
\(\largeб)\) Так как для любого числа \(x\) верны равенство \(x^2-10x+29=(x-5)^2+4\) и неравенство \((x-5)^2+4\geqslant4,\) то для любого числа \(x\) верно неравенство \(\frac{4}{x^2-10x+29}\leqslant1,\) что и требовалось доказать.
Так как \((x-5)^2+4=4\) лишь при \(x=5,\) то левая часть неравенства равна правой лишь при \(x=5.\)
\(\largeв)\) Так как для любого числа \(x\) верны равенство \(x^2+8x+22=(x+4)^2+6\) и неравенство \((x+4)^2+6\geqslant6,\) то для любого числа \(x\) верно неравенство \(\frac{6}{x^2+8x+22}\leqslant1,\) что и требовалось доказать.
Так как \((x+4)^2+6=6\) лишь при \(x={-}4,\) то левая часть неравенства равна правой лишь при \(x={-}4.\)