Доказываем. Докажите, что для любых чисел \(x\) и \(y\) верно неравенство:
Определите, при каких значениях \(x\) и \(y\) левая часть неравенства равна правой.
\(\largeа)\) Так как для любых чисел \(x\) и \(y\) верны равенство \(x^2+y^2-6x+2y+13=(x-3)^2+(y+1)^2+3\) и неравенство \((x-3)^2+(y+1)^2+3\geqslant3,\) то для любых чисел \(x\) и \(y\) верно неравенство \(\frac{3}{x^2+y^2-6x+2y+13}\leqslant1,\) что и требовалось доказать.
Так как \((x-3)^2+(y+1)^2+3=3\) лишь при \(x=3\) и \(y={-}1,\) то левая часть неравенства равна правой лишь при \(x=3\) и \(y={-}1.\)
\(\largeб)\) Так как для любых чисел \(x\) и \(y\) верны равенство \(x^2+y^2+8x-6y+30=(x+4)^2+(y-3)^2+5\) и неравенство \((x+4)^2+(y-3)^2+5\geqslant5,\) то для любых чисел \(x\) и \(y\) верно неравенство \(\frac{5}{x^2+y^2+8x-6y+30}\leqslant1,\) что и требовалось доказать.
Так как \((x+4)^2+(y-3)^2+5=5\) лишь при \(x={-}4\) и \(y=3,\) то левая часть неравенства равна правой лишь при \(x={-}4\) и \(y=3.\)