Задание 567
Доказываем. Докажите тождество:
- \({\largeа)}\ \frac{2x}{x^2-y^2}-\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y}=0;\)
- \({\largeб)}\ \frac{2y}{x^2-y^2}-\frac{1}{x-y}+\frac{1}{x+y}=0;\)
- \({\largeв)}\ \left(\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y}\right)\cdot\frac{x^2-y^2}{y}=2;\)
- \({\largeг)}\ \left(\frac{1}{x-y}+\frac{1}{x+y}\right)\cdot\frac{x^2-y^2}{x}=2;\)
- \({\largeд)}\ \left(\frac{1}{x-y}+\frac{1}{x+y}\right)\cdot(x^2-y^2)=2x;\)
- \({\largeе)}\ \left(\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y}\right)\cdot(x^2-y^2)=2y.\)
Источник заимствования: Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных организаций / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин – Просвещение, 2013. – 147 c. ISBN 978-5-09-027739-6
А+АА-
Решение:
- \({\largeа)}\ \frac{2x^{\backslash1}}{x^2-y^2\phantom{^{\backslash1}}}-\frac{1^{\backslash{x\ +\ y}}}{x-y\phantom{^{\backslash{x\ +\ y}}}}-\frac{1^{\backslash{x\ -\ y}}}{x+y\phantom{^{\backslash{x\ -\ y}}}}=\frac{2x}{ (x+y)(x-y)}-\frac{x+y}{ (x+y)(x-y)}-\frac{x-y}{ (x+y)(x-y)}=\frac{ 2x-(x+y)-(x-y)}{ (x+y)(x-y)}=\frac{2x-x-y-x+y}{ (x+y)(x-y)}=\frac{0}{ (x+y)(x-y)}=0\)
Что и требовалось доказать.
- \({\largeб)}\ \frac{2y^{\backslash1}}{x^2-y^2\phantom{^{\backslash1}}}-\frac{1^{\backslash{x\ +\ y}}}{x-y\phantom{^{\backslash{x\ +\ y}}}}+\frac{1^{\backslash{x\ -\ y}}}{x+y\phantom{^{\backslash{x\ -\ y}}}}=\frac{2y}{ (x+y)(x-y)}-\frac{x+y}{ (x+y)(x-y)}+\frac{x-y}{ (x+y)(x-y)}=\frac{ 2y-(x+y)+(x-y)}{ (x+y)(x-y)}=\frac{2y-x-y+x-y}{ (x+y)(x-y)}=\frac{0}{ (x+y)(x-y)}=0\)
Что и требовалось доказать.
- \({\largeв)}\ \left(\frac{1^{\backslash{x\ +\ y}}}{x-y\phantom{^{\backslash{x\ +\ y}}}}-\frac{1^{\backslash{x\ -\ y}}}{x+y\phantom{^{\backslash{x\ -\ y}}}}\right)\cdot\frac{x^2-y^2}{y}=\left(\frac{x+y}{ (x+y)(x-y)}-\frac{x-y}{ (x+y)(x-y)}\right)\cdot\frac{ (x+y)(x-y)}{y}=\frac{ x+y-(x-y)}{ (x+y)(x-y)}\cdot\frac{ (x+y)(x-y)}{y}=\frac{x+y-x+y}{ (x+y)(x-y)}\cdot\frac{ (x+y)(x-y)}{y}=\frac{2y}{ (x+y)(x-y)}\cdot\frac{ (x+y)(x-y)}{y}=2\)
Что и требовалось доказать.
- \({\largeг)}\ \left(\frac{1^{\backslash{x\ +\ y}}}{x-y\phantom{^{\backslash{x\ +\ y}}}}+\frac{1^{\backslash{x\ -\ y}}}{x+y\phantom{^{\backslash{x\ -\ y}}}}\right)\cdot\frac{x^2-y^2}{x}=\left(\frac{x+y}{ (x+y)(x-y)}+\frac{x-y}{ (x+y)(x-y)}\right)\cdot\frac{ (x+y)(x-y)}{x}=\frac{x+y+x-y}{ (x+y)(x-y)}\cdot\frac{ (x+y)(x-y)}{x}=\frac{2x}{ (x+y)(x-y)}\cdot\frac{ (x+y)(x-y)}{x}=2\)
Что и требовалось доказать.
- \({\largeд)}\ \left(\frac{1^{\backslash{x\ +\ y}}}{x-y\phantom{^{\backslash{x\ +\ y}}}}+\frac{1^{\backslash{x\ -\ y}}}{x+y\phantom{^{\backslash{x\ -\ y}}}}\right)\cdot(x^2-y^2)=\left(\frac{x+y}{ (x+y)(x-y)}+\frac{x-y}{ (x+y)(x-y)}\right)\cdot(x+y)(x-y)=\frac{x+y+x-y}{ (x+y)(x-y)}\cdot(x+y)(x-y)=\frac{ 2x(x+y)(x-y)}{ (x+y)(x-y)}=2x\)
Что и требовалось доказать.
- \({\largeе)}\ \left(\frac{1^{\backslash{x\ +\ y}}}{x-y\phantom{^{\backslash{x\ +\ y}}}}-\frac{1^{\backslash{x\ -\ y}}}{x+y\phantom{^{\backslash{x\ -\ y}}}}\right)\cdot(x^2-y^2)=\left(\frac{x+y}{ (x+y)(x-y)}-\frac{x-y}{ (x+y)(x-y)}\right)\cdot(x+y)(x-y)=\frac{ x+y-(x-y)}{ (x+y)(x-y)}\cdot(x+y)(x-y)=\frac{x+y-x+y}{ (x+y)(x-y)}\cdot(x+y)(x-y)=\frac{ 2y(x+y)(x-y)}{ (x+y)(x-y)}=2y\)
Что и требовалось доказать.
