Задание 568
Доказываем. Докажите тождество:
- \({\largeа)}\ \frac{1}{ (a-b)(b-c)}+\frac{1}{ (b-c)(c-a)}+\frac{1}{ (a-c)(b-a)}=0;\)
- \({\largeб)}\ \frac{1}{ (a-b)(a-c)}+\frac{1}{ (b-a)(b-c)}+\frac{1}{ (c-a)(c-b)}=0;\)
- \({\largeв)}\ \frac{a^4-b^4}{ ((a+b)^2-4ab)((a-b)^2+4ab)((a+b)^2-2ab)}=\frac{1}{a^2-b^2}.\)
Источник заимствования: Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных организаций / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин – Просвещение, 2013. – 147 c. ISBN 978-5-09-027739-6
А+АА-
Решение:
- \({\largeа)}\ \frac{1}{ (a-b)(b-c)}+\frac{1}{ (b-c)(c-a)}+\frac{1}{ (a-c)(b-a)}=\frac{1^{\backslash{a\ -\ c}}}{ (a-b)(b-c)}-\frac{1^{\backslash{a\ -\ b}}}{ (b-c)(a-c)}-\frac{1^{\backslash{b\ -\ c}}}{ (a-c)(a-b)}=\frac{a-c}{ (a-b)(a-c)(b-c)}-\frac{a-b}{ (a-b)(a-c)(b-c)}-\frac{b-c}{ (a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{ a-c-(a-b)-(b-c)}{ (a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{a-c-a+b-b+c}{ (a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{0}{ (a-b)(a-c)(b-c)}=0\)
Что и требовалось доказать.
- \({\largeб)}\ \frac{1}{ (a-b)(a-c)}+\frac{1}{ (b-a)(b-c)}+\frac{1}{ (c-a)(c-b)}=\frac{1^{\backslash{b\ -\ c}}}{ (a-b)(a-c)}-\frac{1^{\backslash{a\ -\ c}}}{ (a-b)(b-c)}+\frac{1^{\backslash{a\ -\ b}}}{ (a-c)(b-c)}=\frac{b-c}{ (a-b)(a-c)(b-c)}-\frac{a-c}{ (a-b)(a-c)(b-c)}+\frac{a-b}{ (a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{ b-c-(a-c)+(a-b)}{ (a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{b-c-a+c+a-b}{ (a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{0}{ (a-b)(a-c)(b-c)}=0\)
Что и требовалось доказать.
- \({\largeв)}\ \frac{a^4-b^4}{ ((a+b)^2-4ab)((a-b)^2+4ab)((a+b)^2-2ab)}=\frac{a^4-b^4}{ (a^2+2ab+b^2-4ab)(a^2-2ab+b^2+4ab)(a^2+2ab+b^2-2ab)}=\frac{a^4-b^4}{ (a^2-2ab+b^2)(a^2+2ab+b^2)(a^2+b^2)}=\frac{ (a^2+b^2)(a^2-b^2)}{ (a-b)^2(a+b)^2(a^2+b^2)}=\frac{a^2-b^2}{ ((a-b)(a+b))^2}=\frac{a^2-b^2}{ (a^2-b^2)^2}=\frac{1}{a^2-b^2}\)
Что и требовалось доказать.
