Задание 614
Доказываем. Докажите, что верно равенство:
- \({\largeа)}\ (a^{{-}1}+b^{{-}1})^2=a^{{-}2}+2a^{{-}1}b^{{-}1}+b^{{-}2};\)
- \({\largeб)}\ (a^{{-}1}-b^{{-}1})^2=a^{{-}2}-2a^{{-}1}b^{{-}1}+b^{{-}2};\)
- \({\largeв)}\ (a^{{-}1}-b^{{-}1})(a^{{-}1}+b^{{-}1})=a^{{-}2}-b^{{-}2};\)
- \({\largeг)}\ (a^{{-}1}-b^{{-}1})(a^{{-}2}+a^{{-}1}b^{{-}1}+b^{{-}2})=a^{{-}3}-b^{{-}3};\)
- \({\largeд)}\ (a^{{-}1}+b^{{-}1})(a^{{-}2}-a^{{-}1}b^{{-}1}+b^{{-}2})=a^{{-}3}+b^{{-}3}.\)
Источник заимствования: Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных организаций / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин – Просвещение, 2013. – 160 c. ISBN 978-5-09-027739-6
А+АА-
Решение:
\(\largeа)\) Пусть \(a^{{-}1}=x,\ b^{{-}1}=y,\) тогда:
- \((a^{{-}1}+b^{{-}1})^2=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=(a^{{-}1})^2+2a^{{-}1}b^{{-}1}+(b^{{-}1})^2=a^{{-}2}+2a^{{-}1}b^{{-}1}+b^{{-}2}\)
Что и требовалось доказать.
\(\largeб)\) Пусть \(a^{{-}1}=x,\ b^{{-}1}=y,\) тогда:
- \((a^{{-}1}-b^{{-}1})^2=(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=(a^{{-}1})^2-2a^{{-}1}b^{{-}1}+(b^{{-}1})^2=a^{{-}2}-2a^{{-}1}b^{{-}1}+b^{{-}2}\)
Что и требовалось доказать.
\(\largeв)\) Пусть \(a^{{-}1}=x,\ b^{{-}1}=y,\) тогда:
- \((a^{{-}1}-b^{{-}1})(a^{{-}1}+b^{{-}1})=(x-y)(x+y)=x^2-y^2=(a^{{-}1})^2-(b^{{-}1})^2=a^{{-}2}-b^{{-}2}\)
Что и требовалось доказать.
\(\largeг)\) Пусть \(a^{{-}1}=x,\ b^{{-}1}=y,\) тогда:
- \((a^{{-}1}-b^{{-}1})(a^{{-}2}+a^{{-}1}b^{{-}1}+b^{{-}2})=(x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3=(a^{{-}1})^3-(b^{{-}1})^3=a^{{-}3}-b^{{-}3}\)
Что и требовалось доказать.
\(\largeд)\) Пусть \(a^{{-}1}=x,\ b^{{-}1}=y,\) тогда:
- \((a^{{-}1}+b^{{-}1})(a^{{-}2}-a^{{-}1}b^{{-}1}+b^{{-}2})=(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3=(a^{{-}1})^3+(b^{{-}1})^3=a^{{-}3}+b^{{-}3}\)
Что и требовалось доказать.
