Задание 617

Решение:

• \({\largeа)}\ \frac{a^{{-}2}+2a^{{-}1}b^{{-}1}+b^{{-}2}}{a^{{-}2}-b^{{-}2}}=\frac{ (a^{{-}1}+b^{{-}1})^2}{ (a^{{-}1}+b^{{-}1})(a^{{-}1}-b^{{-}1})}=\frac{a^{{-}1}+b^{{-}1}}{a^{{-}1}-b^{{-}1}}=\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}=\frac{\frac{b+a}{ab}}{\frac{b-a}{ab}}=\frac{b+a}{ab}:\frac{b-a}{ab}=\frac{b+a}{ab}\cdot\frac{ab}{b-a}=\frac{b+a}{b-a}\)

• \({\largeб)}\ \frac{a^{{-}3}+b^{{-}3}}{a^{{-}2}-a^{{-}1}b^{{-}1}+b^{{-}2}}=\frac{ (a^{{-}1}+b^{{-}1})(a^{{-}2}-a^{{-}1}b^{{-}1}+b^{{-}2})}{a^{{-}2}-a^{{-}1}b^{{-}1}+b^{{-}2}}=a^{{-}1}+b^{{-}1}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}=\frac{a+b}{ab}\)

• \({\largeв)}\ \left(\frac{a^3-b^3}{a^3+b^3}\right)^5\cdot\left(\frac{a^3-b^3}{a^3+b^3}\right)^{{-}5}=\left(\frac{a^3-b^3}{a^3+b^3}\right)^5\cdot\left(\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3}\right)^5=\left(\frac{a^3-b^3}{a^3+b^3}\cdot\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3}\right)^5=1^5=1\)

• \({\largeг)}\ \left(\frac{a^2-a^{{-}2}}{a^2+a^{{-}2}}\right)^7:\left(\frac{a^2+a^{{-}2}}{a^2-a^{{-}2}}\right)^{{-}7}=\left(\frac{a^2-a^{{-}2}}{a^2+a^{{-}2}}\right)^7\cdot\left(\frac{a^2-a^{{-}2}}{a^2+a^{{-}2}}\right)^{{-}7}=\left(\frac{a^2-a^{{-}2}}{a^2+a^{{-}2}}\right)^7\cdot\left(\frac{a^2+a^{{-}2}}{a^2-a^{{-}2}}\right)^7=\left(\frac{a^2-a^{{-}2}}{a^2+a^{{-}2}}\cdot\frac{a^2+a^{{-}2}}{a^2-a^{{-}2}}\right)^7=1^7=1\)

• \({\largeд)}\ \frac{\frac{1}{a^2}+\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}}=\frac{a^{{-}2}+2a^{{-}1}b^{{-}1}+b^{{-}2}}{a^{{-}2}-b^{{-}2}}=\frac{ (a^{{-}1}+b^{{-}1})^2}{ (a^{{-}1}+b^{{-}1})(a^{{-}1}-b^{{-}1})}=\frac{a^{{-}1}+b^{{-}1}}{a^{{-}1}-b^{{-}1}}=\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}=\frac{\frac{b+a}{ab}}{\frac{b-a}{ab}}=\frac{b+a}{ab}:\frac{b-a}{ab}=\frac{b+a}{ab}\cdot\frac{ab}{b-a}=\frac{b+a}{b-a}\)

• \({\largeе)}\ \frac{\frac{1}{a^2}-\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a^3}-\frac{3}{a^2b}+\frac{3}{ab^2}-\frac{1}{b^3}}=\frac{a^{{-}2}-2a^{{-}1}b^{{-}1}+b^{{-}2}}{a^{{-}3}-3a^{{-}2}b^{{-}1}+3a^{{-}1}b^{{-}2}-b^{{-}3}}=\frac{ (a^{{-}1}-b^{{-}1})^2}{ (a^{{-}1}-b^{{-}1})^3}=\frac{1}{a^{{-}1}-b^{{-}1}}=\frac{1}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}=\frac{1}{\frac{b-a}{ab}}=\frac{ab}{b-a}\)