Найдите НОД \((A,\ B),\) если:
- \({\largeа)}\ A=x^3-2x^2+2x-1,\ B=x^3-2x^2+1;\)
- \({\largeб)}\ A=x^3-2x^2+2x-1,\ B=x^3-1;\)
- \({\largeв)}\ A=x^5-x^4-x^3+2x^2-x,\ B=x^5-x^4+x^3-x;\)
- \({\largeг)}\ A=x^4-5x^3+7x^2-3x,\ B=x^2-4x+3.\)
Задание 626
Источник заимствования: Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных организаций / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин – Просвещение, 2013. – 167 c. ISBN 978-5-09-027739-6
Реклама
А+АА-
Решение:
\(\largeа)\) Найдем наибольший общий делитель многочленов \(A=x^3-2x^2+2x-1,\ B=x^3-2x^2+1.\)
Применим алгоритм Евклида:
- \(\begin{array}{l}\phantom{0000000}\begin{array}{l}\begin{array}{r}-\begin{array}{l}x^3-2x^2+2x-1\\x^3-2x^2+0x+1\\\hline\end{array}\begin{array}{|l}x^3-2x^2+0x+1\\\hline1\end{array}\\\end{array}\end{array}\\\begin{array}{l}\begin{array}{r}-\begin{array}{l}x^3-2x^2+0x+1\\x^3-\phantom{0}x^2\\\hline\end{array}\begin{array}{|l}2x-2\\\hline0{,}5x^2-0{,}5x-0{,}5\end{array}\\\end{array}\\\phantom{0000}\begin{array}{r}-\begin{array}{r}{-}x^2+0x\\{-}x^2+\phantom{0}x\\\hline\end{array}\end{array}\\\phantom{\ 000000000}\begin{array}{r}-\begin{array}{r}{-}x+1\\{-}x+1\\\hline\end{array}\end{array}\end{array}\\\phantom{\ 0000000000000000}\begin{array}{r}0\end{array}\end{array}\)
Итак, НОД\((A,\ B)=2x-2.\)
\(\largeб)\) Найдем наибольший общий делитель многочленов \(A=x^3-2x^2+2x-1,\ B=x^3-1.\)
Применим алгоритм Евклида:
- \(\begin{array}{l}\phantom{00000000000000000}\begin{array}{l}\begin{array}{r}-\begin{array}{l}x^3-2x^2+2x-1\\x^3+0x^2+0x-1\\\hline\end{array}\begin{array}{|l}x^3+0x^2+0x-1\\\hline1\end{array}\\\end{array}\end{array}\\\begin{array}{l}\phantom{000}\begin{array}{l}\begin{array}{r}-\begin{array}{l}x^3+0x^2+0x-1\\x^3-\phantom{0}x^2-0x\\\hline\end{array}\begin{array}{|l}{-}2x^2+2x+0\\\hline{-}0{,}5x-0{,}5\end{array}\\\end{array}\\\phantom{\ 00000}\begin{array}{r}-\begin{array}{r}x^2+0x-1\\x^2-\phantom{0}x-0\\\hline\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\\\begin{array}{l}\begin{array}{r}-\begin{array}{l}{-}2x^2+2x+0\\{-}2x^2+2x\\\hline\end{array}\begin{array}{|l}x-1\\\hline{-}2x\end{array}\\\end{array}\end{array}\\\phantom{\ 0000000000000}\begin{array}{r}0\end{array}\end{array}\)
Итак, НОД\((A,\ B)=x-1.\)
\(\largeв)\) Найдем наибольший общий делитель многочленов \(A=x^5-x^4-x^3+2x^2-x,\ B=x^5-x^4+x^3-x.\)
Применим алгоритм Евклида:
- \(\begin{array}{l}\phantom{00000000000000000}\begin{array}{l}\begin{array}{r}-\begin{array}{l}x^5-x^4-\phantom{0}x^3+2x^2-\phantom{0}x\\x^5-x^4+\phantom{0}x^3+0x^2-\phantom{0}x\\\hline\end{array}\begin{array}{|l}x^5-x^4+x^3+0x^2-x\\\hline1\end{array}\\\end{array}\end{array}\\\begin{array}{l}\phantom{0}\begin{array}{l}\begin{array}{r}-\begin{array}{l}x^5-x^4+\phantom{0}x^3+0x^2-\phantom{0}x\\x^5-x^4-0x^3\\\hline\end{array}\begin{array}{|l}{-}2x^3+2x^2+0x\\\hline{-}0{,}5x^2-0{,}5\end{array}\\\end{array}\\\phantom{\ 000000000}\begin{array}{r}-\begin{array}{r}x^3+0x^2-\phantom{0}x\\x^3-\phantom{0}x^2-0x\\\hline\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\\\begin{array}{l}\begin{array}{r}-\begin{array}{l}{-}2x^3+2x^2+0x\\{-}2x^3+2x^2\\\hline\end{array}\begin{array}{|l}x^2-\phantom{0}x\\\hline{-}2x\end{array}\\\end{array}\end{array}\\\phantom{000000000000000}\begin{array}{r}0\end{array}\end{array}\)
Итак, НОД\((A,\ B)=x^2-x.\)
\(\largeг)\) Найдем наибольший общий делитель многочленов \(A=x^4-5x^3+7x^2-3x,\ B=x^2-4x+3.\)
Применим алгоритм Евклида:
- \(\begin{array}{l}\phantom{0000000}\begin{array}{l}\begin{array}{r}-\begin{array}{l}x^4-5x^3+7x^2-3x+0\\x^4-4x^3+3x^2\\\hline\end{array}\begin{array}{|l}x^2-4x+3\\\hline{x}^2-x\end{array}\\\end{array}\end{array}\\\phantom{00000000000}\begin{array}{}-\begin{array}{l}{-}x^3+4x^2-3x+0\\{-}x^3+4x^2-3x\\\hline\end{array}\end{array}\\\phantom{\ 0000000000000000000000000000}\begin{array}{r}0\end{array}\end{array}\)
Итак, НОД\((A,\ B)=x^2-4x+3.\)