Исследуем. Определите, при каких целых \(n\) значение алгебраической дроби:
является целым числом.
\(\largeа)\) Так как \(\frac{5n+7}{n}=\frac{5n}{n}+\frac{7}{n}=5+\frac{7}{n}\), то данная дробь является целым числом, если \(n={-}7,\ {-}1,\ 1,\ 7.\)
\(\largeб)\) Так как \(\frac{5n+7}{n+2}=\frac{5n+10-3}{n+2}=\frac{ 5(n+2)-3}{n+2}=\frac{ 5(n+2)}{n+2}-\frac{3}{n+2}=5-\frac{3}{n+2}\), то данная дробь является целым числом, если \(n={-}5,\ {-}3,\ {-}1,\ 1.\)
\(\largeв)\) Так как \(\frac{3n^2-6n+1}{n-2}=\frac{ 3n(n-2)+1}{n-2}=\frac{ 3n(n-2)}{n-2}+\frac{1}{n-2}=3n+\frac{1}{n-2}\), то данная дробь является целым числом, если \(n=1,\ 3.\)
\(\largeг)\) Так как \(\frac{7n+5}{n}=\frac{7n}{n}+\frac{5}{n}=7+\frac{5}{n}\), то данная дробь является целым числом, если \(n={-}5,\ {-}1,\ 1,\ 5.\)
\(\largeд)\) Так как \(\frac{7n+5}{n+1}=\frac{7n+7-2}{n+1}=\frac{ 7(n+1)-2}{n+1}=\frac{ 7(n+1)}{n+1}-\frac{2}{n+1}=7-\frac{2}{n+1}\), то данная дробь является целым числом, если \(n={-}3,\ {-}2,\ 0,\ 1.\)
\(\largeе)\) Так как \(\frac{2n^2-6n+7}{n-3}=\frac{ 2n(n-3)+7}{n-3}=\frac{ 2n(n-3)}{n-3}+\frac{7}{n-3}=2n+\frac{7}{n-3}\), то данная дробь является целым числом, если \(n={-}4,\ 2,\ 4,\ 10.\)