- Докажите, что если \(p\) – простое число и \(p>3,\) то \(p^2-1\) делится на \(12.\)
- Доказательство. Из трёх последовательных натуральных чисел \(p-1,\ p,\ p+1\) одно делится на \(3,\) но это не \(p,\) так как \(p\) – простое число и \(p>3.\) По той же причине число \(p\) не делится на \(2,\) тогда
Задание 189*
Источник заимствования: Алгебра. Рабочая тетрадь. 7 класс. В 2 частях. Часть 1 / М.К. Потапов, А.В. Шевкин – Просвещение, 2018. – 69 c. ISBN 978-5-09-051661-7
Реклама
А+АА-
Решение:
- Доказательство. Из трёх последовательных натуральных чисел \(p-1,\ p,\ p+1\) одно делится на \(3,\) но это не \(p,\) так как \(p\) – простое число и \(p>3.\) По той же причине число \(p\) не делится на \(2,\) тогда одно из оставшихся чисел должно делиться на \(2,\) а другое на \(4,\) так как числа \(p-1\) и \(p+1\) являются двумя последовательными чётными числами.
Итак, \(p^2-1=(p-1)(p+1)\) делится на \(3\) и на \(4.\) Следовательно, \(p^2-1\) делится на \(12.\)