- Числа \(a\) и \(b\) – натуральные, \(a>b.\) Докажите, что:
- \(\largeа)\) число \((a+b)^2-(a-b)^2\) делится на \(4\);
- \(\largeб)\) число \((a+b)^3+(a-b)^3\) делится на \(2a\);
- \(\largeв)\) число \((a+b)^3-(a-b)^3\) делится на \(2b\);
- \(\largeг)\) число \((a+b)^2-4ab\) является квадратом натурального числа;
- \(\largeд)\) число \((a-b)^2+4ab\) является квадратом натурального числа.
Задание 217
Источник заимствования: Алгебра. Рабочая тетрадь. 7 класс. В 2 частях. Часть 1 / М.К. Потапов, А.В. Шевкин – Просвещение, 2018. – 76 c. ISBN 978-5-09-051661-7
Реклама
А+АА-
Решение:
- \({\largeа)}\ (a+b)^2-(a-b)^2=((a+b)-(a-b))((a+b)+(a-b))=(a+b-a+b)(a+b+a-b)=2b\cdot2a=4ab\)
- \({\largeб)}\ (a+b)^3+(a-b)^3=((a+b)+(a-b))((a+b)^2-(a+b)(a-b)+(a-b)^2)=(a+b+a-b)(a^2+2ab+b^2-(a^2-b^2)+a^2-2ab+b^2)=2a(a^2+2ab+b^2-a^2+b^2+a^2-2ab+b^2)=2a(a^2+3b^2)\)
- \({\largeв)}\ (a+b)^3-(a-b)^3=((a+b)-(a-b))((a+b)^2+(a+b)(a-b)+(a-b)^2)=(a+b-a+b)(a^2+2ab+b^2+a^2-b^2+a^2-2ab+b^2)=2b(3a^2+b^2)\)
- \({\largeг)}\ (a+b)^2-4ab=a^2+2ab+b^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)
- \({\largeд)}\ (a-b)^2+4ab=a^2-2ab+b^2+4ab=a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)