Докажите, что тождественно равны выражения:
\({\largeа)}\ \frac{3}{a^2-3a}+\frac{a^2}{a-3}\) и \(a+3+\frac{\vphantom{^0}9a+3}{a^2-3a};\)
\({\largeб)}\ \frac{a^3}{a^2-4}-\frac{a}{a-2}-\frac{2}{a+2}\) и \(a-1.\)
Упражнение 101
Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова – Просвещение, 2023. – 28 c. ISBN 978-5-09-102536-1
Реклама
А+АА-
Решение:
\({\largeа)}\ \frac{3}{a^2-3a}+\frac{a^2}{a-3}=\frac{3}{ a(a-3)}+\frac{a^2}{a-3}=\frac{3+a^2a}{ a(a-3)}=\frac{a^3+3}{a^2-3a};\)
\(\phantom{\largeа)}\ a+3+\frac{9a+3}{a^2-3a}=\frac{a}{1}+\frac{3}{1}+\frac{9a+3}{a^2-3a}=\frac{ a(a^2-3a)+3(a^2-3a)+9a+3}{a^2-3a}=\frac{a^3-3a^2+3a^2-9a+9a+3}{a^2-3a}=\frac{a^3+3}{a^2-3a},\)
данные выражения тождественно равны, что и требовалось доказать.
\({\largeб)}\ \frac{a^3}{a^2-4}-\frac{a}{a-2}-\frac{2}{a+2}=\frac{a^3}{ (a-2)(a+2)}-\frac{a}{a-2}-\frac{2}{a+2}=\frac{a^3-a(a+2)-2(a-2)}{ (a-2)(a+2)}=\frac{a^3-a^2-2a-2a+4}{ (a-2)(a+2)}=\frac{a^3-a^2-4a+4}{ (a-2)(a+2)}=\frac{ (a^3-a^2)-(4a-4)}{ (a-2)(a+2)}=\frac{ a^2(a-1)-4(a-1)}{ (a-2)(a+2)}=\frac{ (a-1)(a^2-4)}{a^2-4}=a-1,\)
данные выражения тождественно равны, что и требовалось доказать.