\(1)\) Выполним доказательство:
\({\largeа)}\ \frac{x^3+3x}{x+2}-\frac{3x^2-14x+16}{x^2-4}+2x=\frac{x^3+3x}{x+2}-\frac{3x^2-14x+16}{x^2-4}+\frac{2x}{1}=\frac{ (x^3+3x)(x-2)-(3x^2-14x+16)+2x(x^2-4)}{x^2-4}=\frac{x^4-2x^3+3x^2-6x-3x^2+14x-16+2x^3-8x}{x^2-4}=\frac{x^4-16}{x^2-4}=\frac{ (x^2-4)(x^2+4)}{x^2-4}=x^2+4.\)
\(x^2+4>0\), следовательно, значение выражения является положительным числом при любых допустимых значениях переменной \(x\), что и требовалось доказать.
\({\largeб)}\ y+\frac{2y^2+3y+1}{y^2-1}-\frac{y^3+2y}{y-1}=\frac{y}{1}+\frac{2y^2+3y+1}{y^2-1}-\frac{y^3+2y}{y-1}=\frac{ y(y^2-1)+2y^2+3y+1-(y^3+2y)(y+1)}{y^2-1}=\frac{y^3-y+2y^2+3y+1-(y^4+y^3+2y^2+2y)}{y^2-1}=\frac{y^3-y+2y^2+3y+1-y^4-y^3-2y^2-2y}{y^2-1}=\frac{{-}y^4+1}{y^2-1}=\frac{{-}(y^4-1)}{y^2-1}={-}\frac{ (y^2-1)(y^2+1)}{y^2-1}={-}(y^2+1).\)
\({-}(y^2+1)<0\), следовательно, значение выражения является отрицательным числом при любых допустимых значениях переменной \(y\), что и требовалось доказать.
\(3)\) В задаче рассматриваются исключительно допустимые значения переменных, потому что только при этих значениях выражение имеет смысл.
Найдём допустимые значения переменной в заданиях:
\(\largeа)\) Значение выражения \(\frac{x^3+3x}{x+2}-\frac{3x^2-14x+16}{x^2-4}+2x\) не имеет смысла при \(x^2-4=0\), то есть при \(x-2=0\) или \(x+2=0.\) Из этого следует, что допустимыми значениями переменной \(x\) являются все числа, кроме \(2\) и \({-}2.\)
\(\largeб)\) Значение выражения \(y+\frac{2y^2+3y+1}{y^2-1}-\frac{y^3+2y}{y-1}\) не имеет смысла при \(y^2-1=0\), то есть при \(y-1=0\) или \(y+1=0.\) Из этого следует, что допустимыми значениями переменной \(y\) являются все числа, кроме \(1\) и \({-}1.\)
