Докажите тождество
\(\frac{1}{x+n}-\frac{1}{x+n+1}=\frac{1}{(x+n)(x+n+1)}.\)
Используя это тождество, упростите выражение
\(\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}.\)
Упражнение 104
Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова – Просвещение, 2023. – 29 c. ISBN 978-5-09-102536-1
Реклама
А+АА-
Решение:
Докажем тождество:
\(\frac{1}{x+n}-\frac{1}{x+n+1}=\frac{x+n+1-(x+n)}{ (x+n)(x+n+1)}=\frac{x+n+1-x-n}{ (x+n)(x+n+1)}=\frac{1}{ (x+n)(x+n+1)}.\)
Используя это тождество, упростим выражение:
\(\frac{1}{ (x+1)(x+2)}+\frac{1}{ (x+2)(x+3)}+\frac{1}{ (x+3)(x+4)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+4}=\frac{x+4-(x+1)}{ (x+1)(x+4)}=\frac{x+4-x-1}{ (x+1)(x+4)}=\frac{3}{ (x+1)(x+4)}.\)