Упростите выражение:
\({\largeа)}\ \frac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\frac{1}{y^2-x^2}+\frac{1}{x^2+2xy+y^2}\right);\)
\({\largeб)}\ \left(\frac{x-2y}{x^2+2xy}-\frac{1}{x^2-4y^2}:\frac{x+2y}{(2y-x)^2}\right)\cdot\frac{(x+2y)^2}{4y^2}.\)
Упражнение 157
Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова – Просвещение, 2023. – 42 c. ISBN 978-5-09-102536-1
Реклама
А+АА-
Решение:
\({\largeа)}\ \frac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\frac{1}{y^2-x^2}+\frac{1}{x^2+2xy+y^2}\right)=\frac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\frac{1}{ (y-x)(y+x)}+\frac{1}{ (y+x)^2}\right)=\frac{4xy}{ (y-x)(y+x)}:\frac{y+x+y-x}{ (y-x)(y+x)^2}=\frac{4xy}{ (y-x)(y+x)}:\frac{2y}{ (y-x)(y+x)^2}=\frac{4xy}{ (y-x)(y+x)}\cdot\frac{ (y-x)(y+x)^2}{2y}=\frac{4xy\cdot(y-x)(y+x)^2}{ (y-x)(y+x)\cdot2y}=2x(x+y)=2x^2+2xy;\)
\({\largeб)}\ \left(\frac{x-2y}{x^2+2xy}-\frac{1}{x^2-4y^2}:\frac{x+2y}{ (2y-x)^2}\right)\cdot\frac{ (x+2y)^2}{4y^2}=\left(\frac{x-2y}{x^2+2xy}-\frac{1}{x^2-4y^2}\cdot\frac{ (2y-x)^2}{x+2y}\right)\cdot\frac{ (x+2y)^2}{4y^2}=\left(\frac{x-2y}{ x(x+2y)}-\frac{ (x-2y)^2}{ (x-2y)(x+2y)\cdot(x+2y)}\right)\cdot\frac{ (x+2y)^2}{4y^2}=\left(\frac{x-2y}{ x(x+2y)}-\frac{x-2y}{ (x+2y)\cdot(x+2y)}\right)\cdot\frac{ (x+2y)^2}{4y^2}=\frac{ (x-2y)(x+2y)-(x-2y)x}{ x(x+2y)^2}\cdot\frac{ (x+2y)^2}{4y^2}=\frac{x^2-4y^2-x^2+2xy}{ x(x+2y)^2}\cdot\frac{ (x+2y)^2}{4y^2}=\frac{2xy-4y^2}{ x(x+2y)^2}\cdot\frac{ (x+2y)^2}{4y^2}=\frac{ 2y(x-2y)\cdot(x+2y)^2}{ x(x+2y)^2\cdot4y^2}=\frac{x-2y}{2xy}.\)