При каком значении \(a\) выражение
\((0{,}5(a-1)^2-18)\left(\frac{a+5}{a-7}+\frac{a-7}{a+5}\right)\)
принимает наименьшее значение? Найдите это значение.
Упражнение 159
Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова – Просвещение, 2023. – 43 c. ISBN 978-5-09-102536-1
Реклама
А+АА-
Решение:
\((0{,}5(a-1)^2-18)\left(\frac{a+5}{a-7}+\frac{a-7}{a+5}\right)=\frac{ (a-1)^2-36}{2}\cdot\frac{ (a+5)(a+5)+(a-7)(a-7)}{ (a-7)(a+5)}=\frac{ (a-1-6)(a-1+6)}{2}\cdot\frac{ (a+5)^2+(a-7)^2}{ (a-7)(a+5)}=\frac{ (a-7)(a+5)\cdot(a+5)^2+(a-7)^2}{2\cdot(a-7)(a+5)}=\frac{ (a+5)^2+(a-7)^2}{2}=\frac{a^2+10a+25+a^2-14a+49}{2}=\frac{2a^2-4a+74}{2}=\frac{ 2(a^2-2a+37)}{2}=a^2-2a+37=a^2-2a+1+36=(a-1)^2+36.\)
Поскольку выражение \((a-1)^2\geqslant0\) при любом \(a,\) то выражение \((a-1)^2+36\) принимает наименьшее значение при \(a=1,\) и это значение равно \(36.\)