Докажите тождество:
\({\largeа)}\ \frac{2p-q}{pq}-\frac{1}{p+q}\cdot\left(\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\right)=\frac{1}{q};\)
\({\largeб)}\ \frac{a+b}{2(a-b)}-\frac{a-b}{2(a+b)}=\frac{b}{a-b}-\frac{b^2-ab}{a^2-b^2}.\)
Упражнение 161
Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова – Просвещение, 2023. – 43 c. ISBN 978-5-09-102536-1
Реклама
А+АА-
Решение:
\(\largeа)\) Преобразуем выражение, стоящее в левой части равенства:
\(\frac{2p-q}{pq}-\frac{1}{p+q}\cdot\left(\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\right)=\frac{2p-q}{pq}-\frac{1}{p+q}\cdot\frac{p^2-q^2}{pq}=\frac{2p-q}{pq}-\frac{ (p-q)(p+q)}{ (p+q)\cdot{pq}}=\frac{2p-q}{pq}-\frac{p-q}{pq}=\frac{2p-q-(p-q)}{pq}=\frac{2p-q-p+q}{pq}=\frac{p}{pq}=\frac{1}{q}.\)
Эти выражения тождественно равны, что и требовалось доказать.
\(\largeб)\) Преобразуем выражение, стоящее в левой части равенства:
\(\frac{a+b}{ 2(a-b)}-\frac{a-b}{ 2(a+b)}=\frac{ (a+b)^2-(a-b)^2}{ 2(a-b)(a+b)}=\frac{ ((a+b)-(a-b))((a+b)+(a-b))}{ 2(a-b)(a+b)}=\frac{ (a+b-a+b)(a+b+a-b)}{ 2(a-b)(a+b)}=\frac{2b\cdot2a}{ 2(a-b)(a+b)}=\frac{2ab}{a^2-b^2}.\)
Преобразуем правую часть равенства:
\(\frac{b}{a-b}-\frac{b^2-ab}{a^2-b^2}=\frac{b}{a-b}-\frac{b^2-ab}{ (a-b)(a+b)}=\frac{ b(a+b)-(b^2-ab)}{ (a-b)(a+b)}=\frac{ab+b^2-b^2+ab}{ (a-b)(a+b)}=\frac{2ab}{a^2-b^2}.\)
Левая и правая части равенства равны, что и требовалось доказать.