\({\largeа)}\ \left(\frac{2ab}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{2a+2b}\right)\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}.\)
\(1)\ \frac{2ab}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{2a+2b}=\frac{2ab}{ (a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{ 2(a+b)}=\frac{2ab\cdot2+(a-b)(a-b)}{ 2(a-b)(a+b)}=\frac{4ab+a^2-2ab+b^2}{ 2(a-b)(a+b)}=\frac{a^2+2ab+b^2}{ 2(a-b)(a+b)}=\frac{ (a+b)^2}{ 2(a-b)(a+b)}=\frac{a+b}{ 2(a-b)};\)
\(2)\ \frac{a+b}{ 2(a-b)}\cdot\frac{2a}{a+b}=\frac{ (a+b)\cdot2a}{ 2(a-b)\cdot(a+b)}=\frac{a}{a-b};\)
\(3)\ \frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-a}=\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a-b}=\frac{a-b}{a-b}=1.\)
Значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных, что и требовалось доказать.
\({\largeб)}\ \frac{y}{x-y}-\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}\cdot\left(\frac{x}{ (x-y)^2}-\frac{y}{x^2-y^2}\right).\)
\(1)\ \frac{x}{ (x-y)^2}-\frac{y}{x^2-y^2}=\frac{x}{ (x-y)^2}-\frac{y}{ (x-y)(x+y)}=\frac{ x(x+y)-y(x-y)}{ (x-y)^2(x+y)}=\frac{x^2+xy-xy+y^2}{ (x-y)^2(x+y)}=\frac{x^2+y^2}{ (x-y)^2(x+y)};\)
\(2)\ \frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}\cdot\frac{x^2+y^2}{ (x-y)^2(x+y)}=\frac{ x(x^2-y^2)\cdot(x^2+y^2)}{ (x^2+y^2)\cdot(x-y)^2(x+y)}=\frac{ x(x-y)(x+y)\cdot(x^2+y^2)}{ (x^2+y^2)\cdot(x-y)^2(x+y)}=\frac{x}{x-y};\)
\(3)\ \frac{y}{x-y}-\frac{x}{x-y}=\frac{y-x}{x-y}={-}\frac{x-y}{x-y}={-}1.\)
Значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных, что и требовалось доказать.
