Докажите, что при любом натуральном \(n\) значение выражения \(\left(\frac{9}{n^2}+\frac{n}{3}\right):\left(\frac{3}{n^2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{3}\right)\) является натуральным числом.
Упражнение 164
Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова – Просвещение, 2023. – 43 c. ISBN 978-5-09-102536-1
Реклама
А+АА-
Решение:
\(\left(\frac{9}{n^2}+\frac{n}{3}\right):\left(\frac{3}{n^2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{3}\right)=\frac{27+n^3}{3n^2}:\frac{9-3n+n^2}{3n^2}=\frac{n^3+27}{3n^2}\cdot\frac{3n^2}{n^2-3n+9}=\frac{ (n+3)(n^2-3n+9)\cdot3n^2}{3n^2\cdot(n^2-3n+9)}=n+3,\)
значение выражения является натуральным числом при любом натуральном \(n,\) что и требовалось доказать.