Выполните подстановку и упростите полученное выражение:
\({\largeа)}\ \frac{a+b}{a-b},\) если \(a=\frac{1}{1-x},\ b=\frac{1}{1+x};\)
\({\largeб)}\ \frac{ax}{a+x}-\frac{bx}{b-x},\) если \(x=\frac{ab}{a-b}.\)
Упражнение 169
Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова – Просвещение, 2023. – 44 c. ISBN 978-5-09-102536-1
Реклама
А+АА-
Решение:
\({\largeа)}\ \frac{a+b}{a-b}=\frac{\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}}{\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x}}=\frac{\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}\right)\cdot(1-x)(1+x)}{\left(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x}\right)\cdot(1-x)(1+x)}=\frac{\frac{1}{1-x}\cdot(1-x)(1+x)+\frac{1}{1+x}\cdot(1-x)(1+x)}{\frac{1}{1-x}\cdot(1-x)(1+x)-\frac{1}{1+x}\cdot(1-x)(1+x)}=\frac{1+x+1-x}{1+x-1+x}=\frac{2}{2x}=\frac{1}{x};\)
\({\largeб)}\ \frac{ax}{a+x}-\frac{bx}{b-x}=\frac{a\cdot\frac{ab}{a-b}}{a+\frac{ab}{a-b}}-\frac{b\cdot\frac{ab}{a-b}}{b-\frac{ab}{a-b}}=\frac{a\cdot\frac{ab}{a-b}\cdot(a-b)}{\left(a+\frac{ab}{a-b}\right)\cdot(a-b)}-\frac{b\cdot\frac{ab}{a-b}\cdot(a-b)}{\left(b-\frac{ab}{a-b}\right)\cdot(a-b)}=\frac{a\cdot{ab}}{a\cdot(a-b)+\frac{ab}{a-b}\cdot(a-b)}-\frac{b\cdot{ab}}{b\cdot(a-b)-\frac{ab}{a-b}\cdot(a-b)}=\frac{a^2b}{a^2-ab+ab}-\frac{ab^2}{ab-b^2-ab}=\frac{a^2b}{a^2}-\frac{ab^2}{{-}b^2}=b+a=a+b.\)