\(1)\) Чтобы ответить на вопрос задачи необходимо выражение в правой части равенства преобразовать в дробь, при этом равенство должно выполняться при любых допустимых значениях \(x.\)
\(2)\) Выполним преобразование:
\(\frac{a}{x-5}+\frac{b}{x+2}=\frac{ a(x+2)+b(x-5)}{ (x-5)(x+2)}=\frac{ax+2a+bx-5b}{ (x-5)(x+2)}=\frac{ (a+b)x+(2a-5b)}{ (x-5)(x+2)}.\)
Данное равенство должно выполняться, если выполняются равенства \(a+b=5\) и \(2a-5b=31.\)
Составим систему уравнений и решим её:
\(\begin{cases}a+b=5,\ |\cdot5\\[-1ex]\\2a-5b=31;\end{cases}\)
\(\begin{cases}5a+5b=25,\\[-1ex]\\2a-5b=31.\end{cases}\)
Сложив почленно уравнения системы получим:
\(7a=56\)
\(a=56:7\)
\(a=8.\)
Найдём значение \(b\), для этого подставим значение \(a=8\) в первое уравнение исходной системы:
\(8+b=5\)
\(b=5-8\)
\(b={-}3.\)
\(\begin{cases}a=8,\\[-1ex]\\b={-}3.\end{cases}\)
\(3)\) Данное равенство является тождеством при \(a=8\) и \(b={-}3.\)
Проверим полученный ответ:
\(\frac{a}{x-5}+\frac{b}{x+2}=\frac{8}{x-5}+\frac{{-}3}{x+2}=\frac{ 8(x+2)-3(x-5)}{ (x-5)(x+2)}=\frac{8x+16-3x+15}{ (x-5)(x+2)}=\frac{5x+31}{ (x-5)(x+2)}.\)
