При каких значениях \(a\) и \(b\) равенство
\(\frac{6x}{(x-1)(x-2)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2}\)
является тождеством?
Упражнение 201
Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова – Просвещение, 2023. – 55 c. ISBN 978-5-09-102536-1
Реклама
А+АА-
Решение:
Преобразуем правую часть равенства:
\(\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2}=\frac{ a(x-2)+b(x-1)}{ (x-1)(x-2)}=\frac{ax-2a+bx-b}{ (x-1)(x-2)}=\frac{ (a+b)x-(2a+b)}{ (x-1)(x-2)}.\)
Данное равенство должно выполняться, если выполняются равенства \(a+b=6\) и \(2a+b=0.\)
Составим систему уравнений и решим её:
Составим систему уравнений и решим её:
\(\begin{cases}a+b=6,\\[-1ex]\\2a+b=0;\end{cases}\)
\(\begin{cases}a+b=6,\\[-1ex]\\b={-}2a;\end{cases}\)
\(\begin{cases}a+({-}2a)=6,\\[-1ex]\\b={-}2a.\end{cases}\)
\(a-2a=6\)
\({-}a=6\)
\(a={-}6.\)
\(\begin{cases}a+b=6,\\[-1ex]\\b={-}2a;\end{cases}\)
\(\begin{cases}a+({-}2a)=6,\\[-1ex]\\b={-}2a.\end{cases}\)
\(a-2a=6\)
\({-}a=6\)
\(a={-}6.\)
Найдём значение \(b\), для этого подставим значение \(a={-}6\) во второе уравнение исходной системы:
\(2a+b=0\)
\(2\cdot({-}6)+b=0\)
\({-}12+b=0\)
\(b=12.\)
\(2\cdot({-}6)+b=0\)
\({-}12+b=0\)
\(b=12.\)
\(\begin{cases}a={-}6,\\[-1ex]\\b=12.\end{cases}\)
Ответ: данное равенство является тождеством при \(a={-}6\) и \(b=12.\)