Для тех, кто хочет знать больше. Упражнение 202. «Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень.» АЛГЕБРА 8 ГДЗ Упражнение 202

    Упражнение 202

    Представьте дробь \(\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)}\) в виде суммы двух дробей со знаменателями \(x+4\) и \(x-2.\)
    Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / – Просвещение, 2023. – 55 c. ISBN 978-5-09-102536-1
    Реклама
    А+АА-

    Решение:

    Допустим, что:
    \(\frac{5x-1}{ (x+4)(x-2)}=\frac{a}{x+4}+\frac{b}{x-2}.\)
    Сложим дроби в правой части равенства:
    \(\frac{a}{x+4}+\frac{b}{x-2}=\frac{ a(x-2)+b(x+4)}{ (x+4)(x-2)}=\frac{ax-2a+bx+4b}{ (x+4)(x-2)}=\frac{ (a+b)x-(2a-4b)}{ (x+4)(x-2)}.\)
    Получаем, что:
    \(\frac{5x-1}{ (x+4)(x-2)}=\frac{ (a+b)x-(2a-4b)}{ (x+4)(x-2)}.\)
    Это равенство будет тождеством, если \(a+b=5\) и \(2a-4b=1.\)
    Составим систему уравнений и решим её:
    \(\begin{cases}a+b=5,\ |\cdot4\\[-1ex]\\2a-4b=1;\end{cases}\)
    \(\begin{cases}4a+4b=20,\\[-1ex]\\2a-4b=1.\end{cases}\)
    Сложив почленно уравнения системы получим:
    \(6a=21\)
    \(a=21:6\)
    \(a=3{,}5.\)
    Найдём значение \(b\), для этого подставим значение \(a=3{,}5\) в первое уравнение исходной системы:
    \(a+b=5\)
    \(3{,}5+b=5\)
    \(b=5-3{,}5\)
    \(b=1{,}5.\)
    \(\begin{cases}a=3{,}5,\\[-1ex]\\b=1{,}5.\end{cases}\)
    Следовательно,
    \(\frac{5x-1}{ (x+4)(x-2)}=\frac{3{,}5}{x+4}+\frac{1{,}5}{x-2}.\)