Представьте дробь \(\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)}\) в виде суммы двух дробей со знаменателями \(x+4\) и \(x-2.\)
Упражнение 202
Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова – Просвещение, 2023. – 55 c. ISBN 978-5-09-102536-1
Реклама
А+АА-
Решение:
Допустим, что:
\(\frac{5x-1}{ (x+4)(x-2)}=\frac{a}{x+4}+\frac{b}{x-2}.\)
Сложим дроби в правой части равенства:
\(\frac{a}{x+4}+\frac{b}{x-2}=\frac{ a(x-2)+b(x+4)}{ (x+4)(x-2)}=\frac{ax-2a+bx+4b}{ (x+4)(x-2)}=\frac{ (a+b)x-(2a-4b)}{ (x+4)(x-2)}.\)
Получаем, что:
\(\frac{5x-1}{ (x+4)(x-2)}=\frac{ (a+b)x-(2a-4b)}{ (x+4)(x-2)}.\)
Это равенство будет тождеством, если \(a+b=5\) и \(2a-4b=1.\)
Составим систему уравнений и решим её:
Составим систему уравнений и решим её:
\(\begin{cases}a+b=5,\ |\cdot4\\[-1ex]\\2a-4b=1;\end{cases}\)
\(\begin{cases}4a+4b=20,\\[-1ex]\\2a-4b=1.\end{cases}\)
\(\begin{cases}4a+4b=20,\\[-1ex]\\2a-4b=1.\end{cases}\)
Сложив почленно уравнения системы получим:
\(6a=21\)
\(a=21:6\)
\(a=3{,}5.\)
\(a=21:6\)
\(a=3{,}5.\)
Найдём значение \(b\), для этого подставим значение \(a=3{,}5\) в первое уравнение исходной системы:
\(a+b=5\)
\(3{,}5+b=5\)
\(b=5-3{,}5\)
\(b=1{,}5.\)
\(3{,}5+b=5\)
\(b=5-3{,}5\)
\(b=1{,}5.\)
\(\begin{cases}a=3{,}5,\\[-1ex]\\b=1{,}5.\end{cases}\)
Следовательно,
\(\frac{5x-1}{ (x+4)(x-2)}=\frac{3{,}5}{x+4}+\frac{1{,}5}{x-2}.\)