Упражнение 203

Допустим, что:

\(\frac{4x+3}{x^2-1}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}.\)

Сложим дроби в правой части равенства:

\(\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}=\frac{ a(x+1)+b(x-1)}{ (x-1)(x+1)}=\frac{ax+a+bx-b}{x^2-1}=\frac{ (a+b)x+(a-b)}{x^2-1}.\)

Получаем, что:

\(\frac{4x+3}{x^2-1}=\frac{ (a+b)x+(a-b)}{x^2-1}.\)

Это равенство будет тождеством, если \(a+b=4\) и \(a-b=3.\)
Составим систему уравнений и решим её:

\(\begin{cases}a+b=4,\\[-1ex]\\a-b=3.\end{cases}\)

Сложив почленно уравнения системы получим:

\(2a=7\)
\(a=7:2\)
\(a=3{,}5.\)

Найдём значение \(b\), для этого подставим значение \(a=3{,}5\) в первое уравнение исходной системы:

\(a+b=4\)
\(3{,}5+b=4\)
\(b=4-3{,}5\)
\(b=0{,}5.\)

\(\begin{cases}a=3{,}5,\\[-1ex]\\b=0{,}5.\end{cases}\)

Следовательно,

\(\frac{4x+3}{x^2-1}=\frac{3{,}5}{x-1}+\frac{0{,}5}{x+1}.\)