Выясните, при каких целых \(a\) дробь \(\frac{a^2-4a+1}{a-2}\) принимает целые значения, и найдите эти значения.
Упражнение 204
Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова – Просвещение, 2023. – 55 c. ISBN 978-5-09-102536-1
Реклама
А+АА-
Решение:
Преобразуем дробь:
\(\frac{a^2-4a+1}{a-2}=\frac{a^2-4a+4-3}{a-2}=\frac{ (a-2)^2-3}{a-2}=\frac{ (a-2)^2}{a-2}-\frac{3}{a-2}=a-2-\frac{3}{a-2}.\)
Значение дроби \(\frac{3}{a-2}\) является целым числом тогда и только тогда, когда:
\(a-2={-}3,\)
\(a-2={-}1,\)
\(a-2=1,\)
\(a-2=3.\)
Отсюда \(a={-}1;\ 1;\ 3;\ 5.\)
Найдём значение дроби:
При \(a={-}1\)\(\frac{a^2-4a+1}{a-2}=\frac{ ({-}1)^2-4\cdot({-}1)+1}{{-}1-2}=\frac{1+4+1}{{-}3}=\frac{6}{{-}3}={-}2;\)
При \(a=1\)\(\frac{a^2-4a+1}{a-2}=\frac{1^2-4\cdot1+1}{1-2}=\frac{1-4+1}{{-}1}=\frac{{-}2}{{-}1}=2;\)
При \(a=3\)\(\frac{a^2-4a+1}{a-2}=\frac{3^2-4\cdot3+1}{3-2}=\frac{9-12+1}{1}=\frac{{-}2}{1}={-}2;\)
При \(a=5\)\(\frac{a^2-4a+1}{a-2}=\frac{5^2-4\cdot5+1}{5-2}=\frac{25-20+1}{3}=\frac{6}{3}=2.\)