\(1)\) Чтобы найти целые значения дроби, необходимо представить дробь в виде суммы многочлена и дроби.
\(2)\) Выполним задания:
\(\largeа)\) Представим дробь \(\frac{m^2-6m+10}{m-3}\) в виде суммы многочлена и дроби, для этого многочлен \(m^2-6m+10\) разделим на двучлен \(m-3\):
\(\begin{array}{l}\begin{array}{r}-\begin{array}{l}m^2-6m+10\\m^2-3m\\\hline\end{array}\begin{array}{|l}m-3\\\hline{m-3}\end{array}\\\end{array}\\\phantom{\ 000}\begin{array}{r}-\begin{array}{r}{-}3m+10\\{-}3m+\phantom{0}9\\\hline\end{array}\end{array}\\\phantom{0000000000000}\begin{array}{r}1\end{array}\end{array}\)
Значит,
\(m^2-6m+10=(m-3)(m-3)+1.\)
Отсюда
\(\frac{m^2-6m+10}{m-3}=\frac{ (m-3)(m-3)+1}{m-3}=\frac{ (m-3)(m-3)}{m-3}+\frac{1}{m-3}=m-3+\frac{1}{m-3}.\)
Значение дроби \(\frac{1}{m-3}\) является целым числом тогда и только тогда, когда:
Отсюда \(m=2;\ 4.\)
Найдём значение дроби:
При \(m=2\)\(\frac{m^2-6m+10}{m-3}=\frac{2^2-6\cdot2+10}{2-3}=\frac{4-12+10}{{-}1}=\frac{2}{{-}1}={-}2;\)
При \(m=4\)\(\frac{m^2-6m+10}{m-3}=\frac{4^2-6\cdot4+10}{4-3}=\frac{16-24+10}{1}=\frac{2}{1}=2.\)
\(\largeб)\) Представим дробь \(\frac{ (m-4)^2}{m-2}=\frac{m^2-8m+16}{m-2}\) в виде суммы многочлена и дроби, для этого многочлен \(m^2-8m+16\) разделим на двучлен \(m-2\):
\(\begin{array}{l}\begin{array}{r}-\begin{array}{l}m^2-8m+16\\m^2-2m\\\hline\end{array}\begin{array}{|l}m-2\\\hline{m-6}\end{array}\\\end{array}\\\phantom{\ 000}\begin{array}{r}-\begin{array}{r}{-}6m+16\\{-}6m+12\\\hline\end{array}\end{array}\\\phantom{\ 000000000000}\begin{array}{r}4\end{array}\end{array}\)
Значит,
\(m^2-8m+16=(m-2)(m-6)+4.\)
Отсюда
\(\frac{m^2-8m+16}{m-2}=\frac{ (m-2)(m-6)+4}{m-2}=\frac{ (m-2)(m-6)}{m-2}+\frac{4}{m-2}=m-6+\frac{4}{m-2}.\)
Значение дроби \(\frac{4}{m-2}\) является целым числом тогда и только тогда, когда:
\(m-2={-}4,\)
\(m-2={-}2,\)
\(m-2={-}1,\)
\(m-2=1,\)
\(m-2=2,\)
\(m-2=4.\)
Отсюда \(m={-}2;\ 0;\ 1;\ 3;\ 4;\ 6.\)
Найдём значение дроби:
При \(m={-}2\)\(\frac{ (m-4)^2}{m-2}=\frac{ ({-}2-4)^2}{{-}2-2}=\frac{ ({-}6)^2}{{-}4}=\frac{36}{{-}4}={-}9;\)
При \(m=0\)\(\frac{ (m-4)^2}{m-2}=\frac{ (0-4)^2}{0-2}=\frac{ ({-}4)^2}{{-}2}=\frac{16}{{-}2}={-}8;\)
При \(m=1\)\(\frac{ (m-4)^2}{m-2}=\frac{ (1-4)^2}{1-2}=\frac{ ({-}3)^2}{{-}1}=\frac{9}{{-}1}={-}9;\)
При \(m=3\)\(\frac{ (m-4)^2}{m-2}=\frac{ (3-4)^2}{3-2}=\frac{ ({-}1)^2}{1}=\frac{1}{1}=1;\)
При \(m=4\)\(\frac{ (m-4)^2}{m-2}=\frac{ (4-4)^2}{4-2}=\frac{ 0^2}{2}=\frac{0}{2}=0;\)
При \(m=6\)\(\frac{ (m-4)^2}{m-2}=\frac{ (6-4)^2}{6-2}=\frac{ 2^2}{4}=\frac{4}{4}=1.\)
