Упражнение 206

\({\largeа)}\ 5x+y-xy=2.\)

Выразим из уравнения переменную \(y\) через \(x\):

\(y-xy=2-5x\)
\(y(1-x)=2-5x\)
\(y=\frac{2-5x}{1-x}=\frac{5x-2}{x-1}.\)

Выделив из дроби \(\frac{5x-2}{x-1}\) целую часть, получим:

\(y=\frac{5x-2}{x-1}=\frac{5x-5+3}{x-1}=\frac{ 5(x-1)+3}{x-1}=\frac{ 5(x-1)}{x-1}+\frac{3}{x-1}=5+\frac{3}{x-1}.\)

Значение дроби \(\frac{3}{x-1}\) является целым числом тогда и только тогда, когда:

Отсюда \(x={-}2;\ 0;\ 2;\ 4.\)

Найдём соответствующие значения \(y\):

При \(x={-}2\)\(y=5+\frac{3}{x-1}=5+\frac{3}{{-}2-1}=5+\frac{3}{{-}3}=5-1=4;\)

При \(x=0\)\(y=5+\frac{3}{x-1}=5+\frac{3}{0-1}=5+\frac{3}{{-}1}=5-3=2;\)

При \(x=2\)\(y=5+\frac{3}{x-1}=5+\frac{3}{2-1}=5+\frac{3}{1}=5+3=8;\)

При \(x=4\)\(y=5+\frac{3}{x-1}=5+\frac{3}{4-1}=5+\frac{3}{3}=5+1=6.\)

Ответ: пары целых чисел: \(({-}2;\ 4),\ (0;\ 2),\ (2;\ 8),\ (4;\ 6).\)

\({\largeб)}\ xy-x+y=8.\)

Выразим из уравнения переменную \(y\) через \(x\):

\(xy+y=8+x\)
\(y(x+1)=x+8\)
\(y=\frac{x+8}{x+1}.\)

Выделив из дроби \(\frac{x+8}{x+1}\) целую часть, получим:

\(y=\frac{x+8}{x+1}=\frac{x+1+7}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}+\frac{7}{x+1}=1+\frac{7}{x+1}.\)

Значение дроби \(\frac{7}{x+1}\) является целым числом тогда и только тогда, когда:

Отсюда \(x={-}8;\ {-}2;\ 0;\ 6.\)

Найдём соответствующие значения \(y\):

При \(x={-}8\)\(y=1+\frac{7}{x+1}=1+\frac{7}{{-}8+1}=1+\frac{7}{{-}7}=1-1=0;\)

При \(x={-}2\)\(y=1+\frac{7}{x+1}=1+\frac{7}{{-}2+1}=1+\frac{7}{{-}1}=1-7={-}6;\)

При \(x=0\)\(y=1+\frac{7}{x+1}=1+\frac{7}{0+1}=1+\frac{7}{1}=1+7=8;\)

При \(x=6\)\(y=1+\frac{7}{x+1}=1+\frac{7}{6+1}=1+\frac{7}{7}=1+1=2.\)

Ответ: пары целых чисел: \(({-}8;\ 0),\ ({-}2;\ {-}6),\ (0;\ 8),\ (6;\ 2).\)