Упражнение 207

Представим дробь \(\frac{x^2-6x+1}{x-3}\) в виде разности многочлена и дроби, для этого многочлен \(x^2-6x+1\) разделим на двучлен \(x-3\):

\(\begin{array}{l}\begin{array}{r}-\begin{array}{l}x^2-6x+1\\x^2-3x\\\hline\end{array}\begin{array}{|l}x-3\\\hline{x-3}\end{array}\\\end{array}\\\phantom{000}\begin{array}{r}-\begin{array}{r}{-}3x+1\\{-}3x+9\\\hline\end{array}\end{array}\\\phantom{000000000}\begin{array}{r}{-}8\end{array}\end{array}\)

Значит,

\(x^2-6x+1=(x-3)(x-3)-8.\)

Отсюда

\(y=\frac{x^2-6x+1}{x-3}=\frac{ (x-3)(x-3)-8}{x-3}=\frac{ (x-3)(x-3)}{x-3}-\frac{8}{x-3}=x-3-\frac{8}{x-3}.\)

Значение дроби \(\frac{8}{x-3}\) является целым числом тогда и только тогда, когда:

Отсюда \(x={-}5;\ {-}1;\ 1;\ 2;\ 4;\ 5;\ 7;\ 11.\)

Найдём соответствующие значения \(y\):

При \(x={-}5\)\(y=x-3-\frac{8}{x-3}={-}5-3-\frac{8}{{-}5-3}={-}8-\frac{8}{{-}8}={-}8+1={-}7;\)

При \(x={-}1\)\(y=x-3-\frac{8}{x-3}={-}1-3-\frac{8}{{-}1-3}={-}4-\frac{8}{{-}4}={-}4+2={-}2;\)

При \(x=1\)\(y=x-3-\frac{8}{x-3}=1-3-\frac{8}{1-3}={-}2-\frac{8}{{-}2}={-}2+4=2;\)

При \(x=2\)\(y=x-3-\frac{8}{x-3}=2-3-\frac{8}{2-3}={-}1-\frac{8}{{-}1}={-}1+8=7;\)

При \(x=4\)\(y=x-3-\frac{8}{x-3}=4-3-\frac{8}{4-3}=1-\frac{8}{1}=1-8={-}7;\)

При \(x=5\)\(y=x-3-\frac{8}{x-3}=5-3-\frac{8}{5-3}=2-\frac{8}{2}=2-4={-}2;\)

При \(x=7\)\(y=x-3-\frac{8}{x-3}=7-3-\frac{8}{7-3}=4-\frac{8}{4}=4-2=2;\)

При \(x=11\)\(y=x-3-\frac{8}{x-3}=11-3-\frac{8}{11-3}=8-\frac{8}{8}=8-1=7.\)

Ответ: \(({-}5;\ {-}7),\ ({-}1;\ {-}2),\ (1;\ 2),\ (2;\ 7),\ (4;\ {-}7),\ (5;\ {-}2),\ (7;\ 2),\ (11;\ 7).\)