Докажите, что при любом целом \(a\), отличном от нуля, значение дроби \(\frac{5a^2+6}{a^2+1}\) не является целым числом.
Упражнение 208
Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова – Просвещение, 2023. – 55 c. ISBN 978-5-09-102536-1
Реклама
А+АА-
Решение:
Выделим целую часть из заданной в условии дроби:
\(\frac{5a^2+6}{a^2+1}=\frac{5a^2+5+1}{a^2+1}=\frac{ 5(a^2+1)+1}{a^2+1}=\frac{ 5(a^2+1)}{a^2+1}+\frac{1}{a^2+1}=5+\frac{1}{a^2+1}.\)
Так как \(a^2+1\geqslant1\), то значение дроби \(\frac{1}{a^2+1}\) будет целым числом только тогда, когда \(a^2+1=1\), отсюда \(a=0.\)
Следовательно, при любом целом \(a\), отличном от нуля, значение дроби \(\frac{5a^2+6}{a^2+1}\) не может быть целым числом, что и требовалось доказать.
Следовательно, при любом целом \(a\), отличном от нуля, значение дроби \(\frac{5a^2+6}{a^2+1}\) не может быть целым числом, что и требовалось доказать.