Найдите все пары натуральных чисел \(a\) и \(b\), если известно, что сумма обратных им чисел равна \(\frac{1}{7}.\)
Упражнение 209
Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова – Просвещение, 2023. – 55 c. ISBN 978-5-09-102536-1
Реклама
А+АА-
Решение:
Из условия задачи известно, что \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{7}.\)
Отсюда
Отсюда
\(\frac{1}{a}=\frac{1}{7}-\frac{1}{b}\)
\(\frac{1}{a}=\frac{b-7}{7b}\)
\(a=\frac{7b}{b-7}\)
\(\frac{1}{a}=\frac{b-7}{7b}\)
\(a=\frac{7b}{b-7}\)
Выделив из дроби \(\frac{7b}{b-7}\) целую часть, получим:
\(a=\frac{7b}{b-7}=\frac{7b-49+49}{b-7}=\frac{ 7(b-7)+49}{b-7}=\frac{ 7(b-7)}{b-7}+\frac{49}{b-7}=7+\frac{49}{b-7}.\)
Значение дроби \(\frac{49}{b-7}\), при натуральном числе \(b\), является целым числом тогда и только тогда, когда:
\(b-7=1,\)
\(b-7=7,\)
\(b-7=49.\)
Отсюда \(b=8;\ 14;\ 56.\)
Найдём соответствующие значения \(a\):
Найдём соответствующие значения \(a\):
При \(b=8\)\(a=\frac{7b}{b-7}=\frac{7\cdot8}{8-7}=\frac{56}{1}=56;\)
При \(b=14\)\(a=\frac{7b}{b-7}=\frac{7\cdot14}{14-7}=\frac{7\cdot14}{7}=14;\)
При \(b=56\)\(a=\frac{7b}{b-7}=\frac{7\cdot56}{56-7}=\frac{7\cdot56}{49}=\frac{56}{7}=8.\)
Ответ: \((56;\ 8),\ (14;\ 14),\ (8;\ 56).\)