Для тех, кто хочет знать больше. Упражнение 209. «Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень.» АЛГЕБРА 8 ГДЗ Упражнение 209

    Упражнение 209

    Найдите все пары натуральных чисел \(a\) и \(b\), если известно, что сумма обратных им чисел равна \(\frac{1}{7}.\)
    Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / – Просвещение, 2023. – 55 c. ISBN 978-5-09-102536-1
    Реклама
    А+АА-

    Решение:

    Из условия задачи известно, что \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{7}.\)
    Отсюда
    \(\frac{1}{a}=\frac{1}{7}-\frac{1}{b}\)
    \(\frac{1}{a}=\frac{b-7}{7b}\)
    \(a=\frac{7b}{b-7}\)
    Выделив из дроби \(\frac{7b}{b-7}\) целую часть, получим:
    \(a=\frac{7b}{b-7}=\frac{7b-49+49}{b-7}=\frac{ 7(b-7)+49}{b-7}=\frac{ 7(b-7)}{b-7}+\frac{49}{b-7}=7+\frac{49}{b-7}.\)
    Значение дроби \(\frac{49}{b-7}\), при натуральном числе \(b\), является целым числом тогда и только тогда, когда:
    \(b-7=1,\)
    \(b-7=7,\)
    \(b-7=49.\)
    Отсюда \(b=8;\ 14;\ 56.\)
    Найдём соответствующие значения \(a\):
    При \(b=8\)\(a=\frac{7b}{b-7}=\frac{7\cdot8}{8-7}=\frac{56}{1}=56;\)
    При \(b=14\)\(a=\frac{7b}{b-7}=\frac{7\cdot14}{14-7}=\frac{7\cdot14}{7}=14;\)
    При \(b=56\)\(a=\frac{7b}{b-7}=\frac{7\cdot56}{56-7}=\frac{7\cdot56}{49}=\frac{56}{7}=8.\)
    Ответ: \((56;\ 8),\ (14;\ 14),\ (8;\ 56).\)