Докажите, что если \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\), то \(a=b=c.\)
Упражнение 223
Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова – Просвещение, 2023. – 57 c. ISBN 978-5-09-102536-1
Реклама
А+АА-
Решение:
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}.\)
Отсюда
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{a}\), следовательно, \(a^2=bc;\)
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\), следовательно, \(b^2=ac;\)
\(\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\), следовательно, \(c^2=ab.\)
Разделим полученные равенства:
\(\frac{a^2}{b^2}=\frac{bc}{ac}=\frac{b}{a}\), из этого следует, что \(a^3=b^3\) и \(a=b;\)
\(\frac{a^2}{c^2}=\frac{bc}{ab}=\frac{c}{a}\), из этого следует, что \(a^3=c^3\) и \(a=c.\)
В итоге имеем: \(a=b\) и \(a=c\), значит, \(a=b=c\), что и требовалось доказать.