Докажите, что если правильная обыкновенная дробь \(\frac{a}{b}\) несократима, то дробь, дополняющая её до единицы, также несократима.
Упражнение 226
Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова – Просвещение, 2023. – 57 c. ISBN 978-5-09-102536-1
Реклама
А+АА-
Решение:
Пусть правильная обыкновенная дробь \(\frac{a}{b}\) несократима, тогда \(1-\frac{a}{b}=\frac{b-a}{b}\) – дробь, дополняющая её до единицы. Допустим, что дробь \(\frac{b-a}{b}\) сократима на \(k\), отсюда получаем два равенства \(b-a=nk\) и \(b=mk\), из полученных равенств имеем \(a=b-nk=mk-nk=k(m-n).\) Таким образом, дробь \(\frac{b-a}{b}\) сократима, но тогда сократима и дробь \(\frac{a}{b}\), что противоречит условию задачи, следовательно, дробь \(\frac{b-a}{b}\) также несократима.