Докажите, что тождественно равны выражения
\(\frac{ax+by}{(a-b)(x+y)}-\frac{bx-ay}{(a+b)(x+y)}\) и \(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}.\)
Упражнение 236
Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова – Просвещение, 2023. – 59 c. ISBN 978-5-09-102536-1
Реклама
А+АА-
Решение:
\(\frac{ax+by}{ (a-b)(x+y)}-\frac{bx-ay}{ (a+b)(x+y)}=\frac{ (a+b)(ax+by)-(a-b)(bx-ay)}{ (a-b)(a+b)(x+y)}=\frac{a^2x+aby+abx+b^2y-(abx-a^2y-b^2x+aby)}{ (a-b)(a+b)(x+y)}=\frac{a^2x+aby+abx+b^2y-abx+a^2y+b^2x-aby}{ (a-b)(a+b)(x+y)}=\frac{a^2x+b^2x+a^2y+b^2y}{ (a-b)(a+b)(x+y)}=\frac{ x(a^2+b^2)+y(a^2+b^2)}{ (a-b)(a+b)(x+y)}=\frac{ (a^2+b^2)(x+y)}{ (a^2-b^2)(x+y)}=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2},\)
выражения тождественно равны, что и требовалось доказать.