Упражнение 241

\(\largeа)\) Преобразуем дробь \(\frac{5n^2+2n+3}{n}\):

\(\frac{5n^2+2n+3}{n}=\frac{5n^2}{n}+\frac{2n}{n}+\frac{3}{n}=5n+2+\frac{3}{n}.\)

Значение дроби \(\frac{3}{n}\) является целым числом тогда и только тогда, когда:

\(n={-}3;\ {-}1;\ 1;\ 3.\)

Значит, дробь \(\frac{5n^2+2n+3}{n}\) принимает целые значения при \(n\), равном \({-}3;\ {-}1;\ 1;\) и \(3.\)

\(\largeб)\) Преобразуем дробь \(\frac{ (n-3)^2}{n}\):

\(\frac{ (n-3)^2}{n}=\frac{n^2-6n+9}{n}=\frac{n^2}{n}-\frac{6n}{n}+\frac{9}{n}=n-6+\frac{9}{n}.\)

Значение дроби \(\frac{9}{n}\) является целым числом тогда и только тогда, когда:

\(n={-}9;\ {-}3;\ {-}1;\ 1;\ 3;\ 9.\)

Значит, дробь \(\frac{ (n-3)^2}{n}\) принимает целые значения при \(n\), равном \({-}9;\ {-}3;\ {-}1;\ 1;\ 3\) и \(9.\)

\(\largeв)\) Преобразуем дробь \(\frac{3n}{n+2}\):

\(\frac{3n}{n+2}=\frac{3n+6-6}{n+2}=\frac{3n+6}{n+2}-\frac{6}{n+2}=\frac{ 3(n+2)}{n+2}-\frac{6}{n+2}=3-\frac{6}{n+2}.\)

Значение дроби \(\frac{6}{n+2}\) является целым числом тогда и только тогда, когда:

Отсюда \(n={-}8;\ {-}5;\ {-}4;\ {-}3;\ {-}1;\ 0;\ 1;\ 4.\)

Значит, дробь \(\frac{3n}{n+2}\) принимает целые значения при \(n\), равном \({-}8;\ {-}5;\ {-}4;\ {-}3;\ {-}1;\ 0;\ 1\) и \(4.\)

\(\largeг)\) Преобразуем дробь \(\frac{7n}{n-4}\):

\(\frac{7n}{n-4}=\frac{7n-28+28}{n-4}=\frac{7n-28}{n-4}+\frac{28}{n-4}=\frac{ 7(n-4)}{n-4}+\frac{28}{n-4}=7+\frac{28}{n-4}.\)

Значение дроби \(\frac{28}{n-4}\) является целым числом тогда и только тогда, когда:

Отсюда \(n={-}24;\ {-}10;\ {-}3;\ 0;\ 2;\ 3;\ 5;\ 6;\ 8;\ 11;\ 18;\ 32.\)

Значит, дробь \(\frac{7n}{n-4}\) принимает целые значения при \(n\), равном \({-}24;\ {-}10;\ {-}3;\ 0;\ 2;\ 3;\ 5;\ 6;\ 8;\ 11;\ 18\) и \(32.\)