Дополнительные упражнения к главе I. К параграфу 2. Упражнение 242. «Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень.» АЛГЕБРА 8 ГДЗ Упражнение 242

    Упражнение 242

    Найдите такие значения \(a\) и \(b\), при которых выполняется тождество:
    \({\largeа)}\ \frac{5x}{(x-2)(x+3)}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+3};\)
    \({\largeб)}\ \frac{5x+31}{(x-5)(x+2)}=\frac{a}{x-5}-\frac{b}{x+2}.\)
    Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / – Просвещение, 2023. – 59 c. ISBN 978-5-09-102536-1
    Реклама
    А+АА-

    Решение:

    \(\largeа)\) Преобразуем правую часть равенства:
    \(\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+3}=\frac{ a(x+3)+b(x-2)}{ (x-2)(x+3)}=\frac{ax+3a+bx-2b}{ (x-2)(x+3)}=\frac{ (a+b)x+(3a-2b)}{ (x-2)(x+3)}.\)
    Данное равенство должно выполняться, если выполняются равенства \(a+b=5\) и \(3a-2b=0.\)
    Составим систему уравнений и решим её:
    \(\begin{cases}a+b=5,\\[-1ex]\\3a-2b=0;\end{cases}\)
    \(\begin{cases}a=5-b,\\[-1ex]\\3a-2b=0;\end{cases}\)
    \(\begin{cases}a=5-b,\\[-1ex]\\3(5-b)-2b=0.\end{cases}\)
    \(15-3b-2b=0\)
    \(5b=15\)
    \(b=15:5\)
    \(b=3.\)
    Найдём значение \(a\), для этого подставим значение \(b=3\) в первое уравнение исходной системы:
    \(a+b=5\)
    \(a+3=5\)
    \(a=5-3\)
    \(a=2.\)
    \(\begin{cases}a=2,\\[-1ex]\\b=3.\end{cases}\)
    Ответ: данное равенство является тождеством при \(a=2\) и \(b=3.\)
    \(\largeб)\) Преобразуем правую часть равенства:
    \(\frac{a}{x-5}-\frac{b}{x+2}=\frac{ a(x+2)-b(x-5)}{ (x-5)(x+2)}=\frac{ax+2a-bx+5b}{ (x-5)(x+2)}=\frac{ (a-b)x+(2a+5b)}{ (x-5)(x+2)}.\)
    Данное равенство должно выполняться, если выполняются равенства \(a-b=5\) и \(2a+5b=31.\)
    Составим систему уравнений и решим её:
    \(\begin{cases}a-b=5,\\[-1ex]\\2a+5b=31;\end{cases}\)
    \(\begin{cases}a=5+b,\\[-1ex]\\2a+5b=31;\end{cases}\)
    \(\begin{cases}a=5+b,\\[-1ex]\\2(5+b)+5b=31.\end{cases}\)
    \(10+2b+5b=31\)
    \(7b=21\)
    \(b=21:7\)
    \(b=3.\)
    Найдём значение \(a\), для этого подставим значение \(b=3\) в первое уравнение исходной системы:
    \(a-b=5\)
    \(a-3=5\)
    \(a=5+3\)
    \(a=8.\)
    \(\begin{cases}a=8,\\[-1ex]\\b=3.\end{cases}\)
    Ответ: данное равенство является тождеством при \(a=8\) и \(b=3.\)