Найдите такие значения \(a\) и \(b\), при которых выполняется тождество:
\({\largeа)}\ \frac{5x}{(x-2)(x+3)}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+3};\)
\({\largeб)}\ \frac{5x+31}{(x-5)(x+2)}=\frac{a}{x-5}-\frac{b}{x+2}.\)
Упражнение 242
Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова – Просвещение, 2023. – 59 c. ISBN 978-5-09-102536-1
Реклама
А+АА-
Решение:
\(\largeа)\) Преобразуем правую часть равенства:
\(\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+3}=\frac{ a(x+3)+b(x-2)}{ (x-2)(x+3)}=\frac{ax+3a+bx-2b}{ (x-2)(x+3)}=\frac{ (a+b)x+(3a-2b)}{ (x-2)(x+3)}.\)
Данное равенство должно выполняться, если выполняются равенства \(a+b=5\) и \(3a-2b=0.\)
Составим систему уравнений и решим её:
Составим систему уравнений и решим её:
\(\begin{cases}a+b=5,\\[-1ex]\\3a-2b=0;\end{cases}\)
\(\begin{cases}a=5-b,\\[-1ex]\\3a-2b=0;\end{cases}\)
\(\begin{cases}a=5-b,\\[-1ex]\\3(5-b)-2b=0.\end{cases}\)
\(15-3b-2b=0\)
\(5b=15\)
\(b=15:5\)
\(b=3.\)
\(\begin{cases}a=5-b,\\[-1ex]\\3a-2b=0;\end{cases}\)
\(\begin{cases}a=5-b,\\[-1ex]\\3(5-b)-2b=0.\end{cases}\)
\(15-3b-2b=0\)
\(5b=15\)
\(b=15:5\)
\(b=3.\)
Найдём значение \(a\), для этого подставим значение \(b=3\) в первое уравнение исходной системы:
\(a+b=5\)
\(a+3=5\)
\(a=5-3\)
\(a=2.\)
\(a+3=5\)
\(a=5-3\)
\(a=2.\)
\(\begin{cases}a=2,\\[-1ex]\\b=3.\end{cases}\)
Ответ: данное равенство является тождеством при \(a=2\) и \(b=3.\)
\(\largeб)\) Преобразуем правую часть равенства:
\(\frac{a}{x-5}-\frac{b}{x+2}=\frac{ a(x+2)-b(x-5)}{ (x-5)(x+2)}=\frac{ax+2a-bx+5b}{ (x-5)(x+2)}=\frac{ (a-b)x+(2a+5b)}{ (x-5)(x+2)}.\)
Данное равенство должно выполняться, если выполняются равенства \(a-b=5\) и \(2a+5b=31.\)
Составим систему уравнений и решим её:
Составим систему уравнений и решим её:
\(\begin{cases}a-b=5,\\[-1ex]\\2a+5b=31;\end{cases}\)
\(\begin{cases}a=5+b,\\[-1ex]\\2a+5b=31;\end{cases}\)
\(\begin{cases}a=5+b,\\[-1ex]\\2(5+b)+5b=31.\end{cases}\)
\(10+2b+5b=31\)
\(7b=21\)
\(b=21:7\)
\(b=3.\)
\(\begin{cases}a=5+b,\\[-1ex]\\2a+5b=31;\end{cases}\)
\(\begin{cases}a=5+b,\\[-1ex]\\2(5+b)+5b=31.\end{cases}\)
\(10+2b+5b=31\)
\(7b=21\)
\(b=21:7\)
\(b=3.\)
Найдём значение \(a\), для этого подставим значение \(b=3\) в первое уравнение исходной системы:
\(a-b=5\)
\(a-3=5\)
\(a=5+3\)
\(a=8.\)
\(a-3=5\)
\(a=5+3\)
\(a=8.\)
\(\begin{cases}a=8,\\[-1ex]\\b=3.\end{cases}\)
Ответ: данное равенство является тождеством при \(a=8\) и \(b=3.\)