Докажите, что если \(m\ne{n}\), \(m\ne0\) и \(n\ne0\), то значение выражения \(\frac{2}{mn}:\left(\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right)^2-\frac{m^2+n^2}{(m-n)^2}\) не зависит от значений переменных.
Упражнение 244
Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова – Просвещение, 2023. – 60 c. ISBN 978-5-09-102536-1
Реклама
А+АА-
Решение:
\(\frac{2}{mn}:\left(\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right)^2-\frac{m^2+n^2}{ (m-n)^2}=\frac{2}{mn}:\left(\frac{n-m}{mn}\right)^2-\frac{m^2+n^2}{ (m-n)^2}=\frac{2}{mn}\cdot\left(\frac{mn}{n-m}\right)^2-\frac{m^2+n^2}{ (m-n)^2}=\frac{2}{mn}\cdot\frac{m^2n^2}{ (n-m)^2}-\frac{m^2+n^2}{ (m-n)^2}=\frac{2m^2n^2}{ mn(m-n)^2}-\frac{m^2+n^2}{ (m-n)^2}=\frac{2mn}{ (m-n)^2}-\frac{m^2+n^2}{ (m-n)^2}=\frac{2mn-(m^2+n^2)}{ (m-n)^2}=\frac{2mn-m^2-n^2}{ (m-n)^2}=\frac{{-}(m^2-2mn+n^2)}{ (m-n)^2}={-}\frac{ (m-n)^2}{ (m-n)^2}={-}1,\)
значение выражения не зависит от значений переменных, что и требовалось доказать.