Докажите, что при любом значении \(x\), большем \(2\), значение выражения
\(\left(\frac{x+1}{2x}+\frac{4}{x+3}-2\right):\frac{x+1}{x+3}-\frac{x^2-5x+3}{2x}\)
является отрицательным числом.
Упражнение 246
Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова – Просвещение, 2023. – 60 c. ISBN 978-5-09-102536-1
Реклама
А+АА-
Решение:
\(\left(\frac{x+1}{2x}+\frac{4}{x+3}-2\right):\frac{x+1}{x+3}-\frac{x^2-5x+3}{2x}={-}\frac{x}{2}+1.\)
\(1)\ \frac{x+1}{2x}+\frac{4}{x+3}-2=\frac{ (x+1)(x+3)+4\cdot2x-2\cdot2x(x+3)}{ 2x(x+3)}=\frac{x^2+3x+x+3+8x-4x^2-12x}{ 2x(x+3)}=\frac{{-}3x^2+3}{ 2x(x+3)}=\frac{{-}3(x^2-1)}{ 2x(x+3)}=\frac{{-}3(x-1)(x+1)}{ 2x(x+3)};\)
\(2)\ \frac{{-}3(x-1)(x+1)}{ 2x(x+3)}:\frac{x+1}{x+3}=\frac{{-}3(x-1)(x+1)}{ 2x(x+3)}\cdot\frac{x+3}{x+1}=\frac{{-}3(x-1)}{2x}=\frac{{-}3x+3}{2x};\)
\(3)\ \frac{{-}3x+3}{2x}-\frac{x^2-5x+3}{2x}=\frac{{-}3x+3-(x^2-5x+3)}{2x}=\frac{{-}3x+3-x^2+5x-3}{2x}=\frac{{-}x^2+2x}{2x}={-}\frac{x^2}{2x}+\frac{2x}{2x}={-}\frac{x}{2}+1.\)
Значение выражения является отрицательным числом при любом значении \(x,\) большем \(2,\) что и требовалось доказать.